【題目】O中,AB為O的直徑,AC是弦,,

1)在圖1中,P為直徑BA延長線上的一點,當CP與O相切時,求PO的長;

2)如圖2,一動點M從A點出發(fā),在O上按逆時針方向運動一周,當時,求半徑OM所掃過的扇形的面積

【答案】(1)8;(2);;

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得到CPOC,由于OAC=AOC=60°,于是得到P=90°-AOC=30°,在RtPOC中,求得CO=PO=4,即可得到結(jié)論;

(2)如圖,當SMAO=SCAO時,動點M的位置有四種.作點C關(guān)于直徑AB的對稱點M1,連接AM1,OM1,過點M1作M1M2AB交O于點M2,連接AM2,OM2,過點C作CM3AB交O于點M3,連接AM3,OM3,當點M運動到C時,M與C重合,求得每種情況的OM轉(zhuǎn)過的度數(shù),再根據(jù)弧長公式求得弧AM的長,即可得到結(jié)論.

試題解析:(1)CP與O相切,OC是半徑.

CPOC,

∵∠OAC=AOC=60°,

∴∠P=90°-AOC=30°

在RtPOC中,CO=PO=4,

則PO=2CO=8;

(2)如圖,

作點C關(guān)于直徑AB的對稱點M1,連接AM1,OM1

易得SM1AO=SCAO,AOM1=60°∴當點M運動到M1時,SMAO=SCAO

此時點M經(jīng)過的弧長為,

半徑OM所掃過的扇形的面積=

過點M1作M1M2AB交O于點M2,連接AM2,OM2,易得SM2AO=SCAO

∴∠AOM1=M1OM2=BOM2=60°

,

當點M運動到M2時,SMAO=SCAO,此時點M經(jīng)過的弧長為,

半徑OM所掃過的扇形的面積=××4=π

過點C作CM3AB交O于點M3,連接AM3,OM3,易得SM3AO=SCAO

∴∠BOM3=60°

=×240=×2=

當點M運動到M3時,SMAO=SCAO,此時點M經(jīng)過的弧長為

半徑OM所掃過的扇形的面積=××4=;

當點M運動到C時,M與C重合,SMAO=SCAO,

此時點M經(jīng)過的弧長為×300°π+=

半徑OM所掃過的扇形的面積=××4=

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2)如圖2,在等邊ABC中,點MBC延長線上的任意一點(不含端點C),其它條件不變,(1)中結(jié)論ABC=ACN還成立嗎?請說明理由.

【拓展延伸】

3)如圖3,在等腰ABC中,BA=BC,點MBC上的任意一點(不含端點BC),連結(jié)AM,以AM為邊作等腰AMN,使頂角AMN=ABC.連結(jié)CN.試探究ABCACN的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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