【題目】如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖象交坐標軸于A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三點,點P是直線BC下方拋物線上一動點.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式;

(2)是否存在點P,使POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明理由;

(3)動點P運動到什么位置時,PBC面積最大,求出此時P點坐標和PBC的最大面積.

【答案】(1)拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4(2)存在滿足條件的P點,其坐標為( ,﹣2)(3)P點坐標為(2,﹣6)時,PBC的最大面積為8.

【解析】

試題分析:(1)由A、B、C三點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;(2)由題意可知點P在線段OC的垂直平分線上,則可求得P點縱坐標,代入拋物線解析式可求得P點坐標;(3)過P作PEx軸,交x軸于點E,交直線BC于點F,用P點坐標可表示出PF的長,則可表示出PBC的面積,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得PBC面積的最大值及P點的坐標.

試題解析:(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,

把A、B、C三點坐標代入可得,解得

拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4;

(2)作OC的垂直平分線DP,交OC于點D,交BC下方拋物線于點P,如圖1,

PO=PD,此時P點即為滿足條件的點,C(0,﹣4),D(0,﹣2),P點縱坐標為﹣2,

代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2,解得x=(小于0,舍去)或x=

存在滿足條件的P點,其坐標為(,﹣2);

(3)點P在拋物線上,可設(shè)P(t,t2﹣3t﹣4),

過P作PEx軸于點E,交直線BC于點F,如圖2,

B(4,0),C(0,﹣4),直線BC解析式為y=x﹣4,F(t,t﹣4),

PF=(t﹣4)﹣(t2﹣3t﹣4)=﹣t2+4t,

SPBC=SPFC+SPFB=PFOE+PFBE=PF(OE+BE)=PFOB=(﹣t2+4t)×4=﹣2(t﹣2)2+8,當(dāng)t=2時,SPBC最大值為8,此時t2﹣3t﹣4=﹣6,

當(dāng)P點坐標為(2,﹣6)時,PBC的最大面積為8.

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1)根據(jù)信息填表(用含的式子表示):

樹苗類型

甲種樹苗

乙種樹苗

購買樹苗的數(shù)量(單位:棵)

購買樹苗的費用(單位:元)

2)如果購買甲、乙兩種樹苗共用去2560元,那么甲、乙兩種樹苗各購買了多少棵?

3)如果要使這批樹苗的成活率不低于92%,請設(shè)計一種購買甲、乙樹苗的方案,使購買甲、乙兩種樹苗的費用最少,寫出購買方案并計算出購買甲、乙兩種樹苗的總費用.

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