【題目】如圖,拋物線y=﹣(x﹣1)2+c與x軸交于A,B(A,B分別在y軸的左右兩側(cè))兩點,與y軸的正半軸交于點C,頂點為D,已知A(﹣1,0).

(1)求點B,C的坐標;

(2)判斷CDB的形狀并說明理由;

(3)將COB沿x軸向右平移t個單位長度(0<t<3)得到QPE.QPE與CDB重疊部分(如圖中陰影部分)面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.

【答案】解:(1)點A(﹣1,0)在拋物線y=﹣(x﹣1)2+c上,

0=﹣(﹣1﹣1)2+c,解得c=4。

拋物線解析式為:y=﹣(x﹣1)2+4。

令x=0,得y=3,C(0,3);

令y=0,得x=﹣1或x=3,B(3,0)。

(2)CDB為直角三角形。理由如下:

由拋物線解析式,得頂點D的坐標為(1,4)。

如答圖1所示,過點D作DMx軸于點M,

則OM=1,DM=4,BM=OB﹣OM=2。

過點C作CNDM于點N,

則CN=1,DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1。

在RtOBC中,由勾股定理得:;

在RtCND中,由勾股定理得:;

在RtBMD中,由勾股定理得:。

BC2+CD2=BD2根據(jù)勾股定理的逆定理,得CDB為直角三角形。

(3)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

B(3,0),C(0,3),,解得。

直線BC的解析式為y=﹣x+3。

直線QE是直線BC向右平移t個單位得到,

直線QE的解析式為:y=﹣(x﹣t)+3=﹣x+3+t。

設(shè)直線BD的解析式為y=mx+m,

B(3,0),D(1,4),,解得:。

直線BD的解析式為y=﹣2x+6

連接CQ并延長,射線CQ交BD于點G,則G(,3)。

COB向右平移的過程中:

當0<t≤時,如答圖2所示:

設(shè)PQ與BC交于點K,可得QK=CQ=t,PB=PK=3﹣t.

設(shè)QE與BD的交點為F,

則:,解得,F(3﹣t,2t)。

S=SQPE﹣SPBK﹣SFBE

=PEPQ﹣PBPK﹣BEyF

=×3×3﹣(3﹣t)2﹣t2t=。<t<3時,如答圖3所示,

設(shè)PQ分別與BC、BD交于點K、點J,

CQ=t,KQ=t,PK=PB=3﹣t。

直線BD解析式為y=﹣2x+6,令x=t,得y=6﹣2t。J(t,6﹣2t)。

S=SPBJ﹣SPBK=PBPJ﹣PBPK=(3﹣t)(6﹣2t)﹣(3﹣t)2=t2﹣3t+。

綜上所述,S與t的函數(shù)關(guān)系式為:S=

【解析】

試題(1)首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,然后進一步確定點B,C的坐標

(2)分別求出CDB三邊的長度,利用勾股定理的逆定理判定CDB為直角三角形。

(3)COB沿x軸向右平移過程中,分兩個階段:

當0<t≤時,如答圖2所示,此時重疊部分為一個四邊形;

<t<3時,如答圖3所示,此時重疊部分為一個三角形。

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