【題目】如圖,正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,6),將正方形ABCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α(0°<α<90°),得到正方形CDEF,ED交線段AB于點(diǎn)G,ED的延長(zhǎng)線交線段OA于點(diǎn)H,連CH、CG.
(1)求證:△CBG≌△CDG;
(2)求∠HCG的度數(shù);并判斷線段HG、OH、BG之間的數(shù)量關(guān)系,說(shuō)明理由;
(3)連結(jié)BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,四邊形AEBD能否為矩形?如果能,請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo);如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
證明:∵正方形ABCO繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到正方形CDEF
∴CD=CB,∠CDG=∠CBG=90°
在Rt△CDG和Rt△CBG中
∴△CDG≌△CBG(HL)
(2)
解:∵△CDG≌△CBG
∴∠DCG=∠BCG,DG=BG
在Rt△CHO和Rt△CHD中
∴△CHO≌△CHD(HL)
∴∠OCH=∠DCH,OH=DH
∴
HG=HD+DG=HO+BG
(3)
解:四邊形AEBD可為矩形
如圖,
連接BD、DA、AE、EB
因?yàn)樗倪呅蜛EBD若為矩形,則需先為平行四邊形,即要對(duì)角線互相平分,合適的點(diǎn)只有G為AB中點(diǎn)的時(shí)候.
因?yàn)镈G=BG,所以此時(shí)同時(shí)滿足DG=AG=EG=BG,即平行四邊形AEBD對(duì)角線相等,則其為矩形.
所以當(dāng)G點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí),四邊形AEBD為矩形.
∵四邊形DAEB為矩形
∴AG=EG=BG=DG
∵AB=6
∴AG=BG=3
設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0)
則HO=x
∵OH=DH,BG=DG
∴HD=x,DG=3
在Rt△HGA中
∵HG=x+3,GA=3,HA=6﹣x
∴(x+3)2=32+(6﹣x)2
∴x=2
∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)
【解析】(1)求證全等,觀察兩個(gè)三角形,發(fā)現(xiàn)都有直角,而CG為公共邊,進(jìn)而再鎖定一條直角邊相等即可,因?yàn)槠錇檎叫涡D(zhuǎn)得到,所以邊都相等,即結(jié)論可證.(2)上問(wèn)的結(jié)論,本題一般都要使用才能求出結(jié)果.所以由三角形全等可以得到對(duì)應(yīng)邊、角相等,即BG=DG,∠DCG=∠BCG.同第一問(wèn)的思路你也容易發(fā)現(xiàn)△CDH≌△COH,也有對(duì)應(yīng)邊、角相等,即OH=DH,∠OCH=∠DCH.于是∠GCH為 四角的和,四角恰好組成直角,所以∠GCH=90°,且容易得到OH+BG=HG.(3)四邊形AEBD若為矩形,則需先為平行四邊形,即要對(duì)角線互相平分,合適的點(diǎn)只有G為AB中點(diǎn)的時(shí)候.由上幾問(wèn)知DG=BG,所以此時(shí)同時(shí)滿足DG=AG=EG=BG,即四邊形AEBD為矩形.求H點(diǎn)的坐標(biāo),可以設(shè)其為(x,0),則OH=x,AH=6﹣x.而B(niǎo)G為AB的一半,所以DG=BG=AG=3.又由(2),HG=x+3,所以Rt△HGA中,三邊都可以用含x的表達(dá)式表達(dá),那么根據(jù)勾股定理可列方程,進(jìn)而求出x,推得H坐標(biāo).
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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,AD是角平分線,△ADE是等邊三角形,下列結(jié)論:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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【題目】如圖,已知矩形ABCD中,E是AD上的一點(diǎn),F(xiàn)是AB上的一點(diǎn),EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周長(zhǎng)為32cm,求AE的長(zhǎng).
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【題目】某小區(qū)為了綠化環(huán)境,計(jì)劃分兩次購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草,第一次分別購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草30棵和15棵,共花費(fèi)675元;第二次分別購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草12棵和5棵.兩次共花費(fèi)940元(兩次購(gòu)進(jìn)的A、B兩種花草價(jià)格均分別相同).
(1)A、B兩種花草每棵的價(jià)格分別是多少元?
(2)若購(gòu)買A、B兩種花草共31棵,且B種花草的數(shù)量少于A種花草的數(shù)量的2倍,請(qǐng)你給出一種費(fèi)用最省的方案,并求出該方案所需費(fèi)用.
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【題目】如圖,在坐標(biāo)系中放置一菱形OABC,已知∠ABC=60°,點(diǎn)B在y軸上,OA=1.將菱形OABC沿x軸的正方向無(wú)滑動(dòng)翻轉(zhuǎn),每次翻轉(zhuǎn)60°,連續(xù)翻轉(zhuǎn)2014次,點(diǎn)B的落點(diǎn)依次為B1 , B2 , B3 , …,則B2014的坐標(biāo)為( )
A.(1343,0)
B.(1342,0)
C.(1343.5, )
D.(1342.5, )
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,E為BC上一點(diǎn),CE=5,F(xiàn)為DE的中點(diǎn).若△CEF的周長(zhǎng)為18,則OF的長(zhǎng)為 .
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