Question

【題目】如圖，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點E是線段AD邊上的任意一點（不含端點A、D），連結BE、CE．

（1）若a=5，sin∠ACB= ，求b．
（2）若a=5，b=10當BE⊥AC時，求出此時AE的長．
（3）設AE=x，試探索點E在線段AD上運動過程中，使得△ABE與△BCE相似時，求a、b應滿足什么條件，并求出此時x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∵AB=a=5，sin∠ACB= ，

∴ ，

∴AC=13，

∴BC= =12，

∴b=12

（2）解：如圖1，

∵BE⊥AC，

∴∠2+∠3=90°，

又∠1+∠3=90°，

∴∠1=∠2，

又∠BAE=∠ABC=90°，

∴△AEB∽△BAC，

∴ ，

即 ，

∴

（3）解：∵點E在線段AD上的任一點，且不與A、D重合，

∴當△ABE與△BCE相似時，則∠BEC=90°

所以當△BAE∽△CEB（如圖2）

則∠1=∠BCE，

又BC∥AD，

∴∠2=∠BCE，

∴∠1=∠2， 。

又∠BAE=∠EDC=90°，

∴△BAE∽△EDC，

∴ ，

即 ，

∴x2﹣bx+a2=0，

即

，

當b2﹣4a2≥0，

∵a＞0，b＞0，

∴b≥2a，

即b≥2a時， ，

綜上所述：當a、b滿足條件b=2a時△BAE∽△CEB，此時 （或x=a）；

當a、b滿足條件b＞2a時△BAE∽△CEB，此時

【解析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠ABC=90°，根據(jù)正弦三角函數(shù)得出AC,然后利用勾股定理得出BC的長，從而得出答案；
（2）根據(jù)同角的余角相等得出∠1=∠2，又∠BAE=∠ABC=90°，從而判斷出△AEB∽△BAC，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出答案；
（3）點E在線段AD上的任一點，且不與A、D重合，當△ABE與△BCE相似時，則∠BEC=90°，所以當△BAE∽△CEB（如圖2），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出∠1=∠BCE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2=∠BCE，由等量代換得出∠1=∠2，又∠BAE=∠EDC=90°，從而判斷出△BAE∽△EDC，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出方程x2﹣bx+a2=0，將方程變形( x ) 2 =,當b2﹣4a2≥0，a＞0，b＞0，故b≥2a，綜上所述得出結論
【考點精析】關于本題考查的矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，需要了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．