Question

【題目】如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)EC．若AB=8，CD=2，則EC的長(zhǎng)為（ ）

A. 2 B. 8 C. 2 D. 2

Answer 1

【答案】C

【解析】連結(jié)BE，設(shè)⊙O的半徑為R，由OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得AC=BC=AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，根據(jù)勾股定理得到（R-2）2+42=R2，解得R=5，則OC=3，由于OC為△ABE的中位線，則BE=2OC=6，再根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可計(jì)算出CE．

解：連結(jié)BE，設(shè)⊙O的半徑為R，如圖所示，

∵OD⊥AB，

∴AC=BC=AB=×8=4，

在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，

∵OC2+AC2=OA2，

∴（R-2）2+42=R2，解得R=5，

∴OC=5-2=3，

∴BE=2OC=6，

∵AE為直徑，

∴∠ABE=90°，

在Rt△BCE中， ．

考點(diǎn): 1.垂徑定理；2.勾股定理；3.三角形中位線定理；4.圓周角定理．

“點(diǎn)睛”本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．