【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣5(a0)與x軸交于點A(﹣5,0)和點B(3,0),與y軸交于點C.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)若點E為x軸下方拋物線上的一動點,當(dāng)S△ABE=S△ABC時,求點E的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點P,使BAP=CAE?若存在,求出點P的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x2+x﹣5;(2)E點坐標(biāo)為(﹣2,﹣5);(3)存在滿足條件的點P,其橫坐標(biāo)為

【解析】

試題分析:(1)把A、B兩點的坐標(biāo)代入,利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;(2)當(dāng)S△ABE=S△ABC時,可知E點和C點的縱坐標(biāo)相同,可求得E點坐標(biāo);(3)在CAE中,過E作EDAC于點D,可求得ED和AD的長度,設(shè)出點P坐標(biāo),過P作PQx軸于點Q,由條件可知EDA∽△PQA,利用相似三角形的對應(yīng)邊可得到關(guān)于P點坐標(biāo)的方程,可求得P點坐標(biāo).

試題解析:(1)把A、B兩點坐標(biāo)代入解析式可得,解得

拋物線解析式為y=x2+x﹣5;

(2)在y=x2+x﹣5中,令x=0可得y=﹣5,

C(0,﹣5),

S△ABE=S△ABC,且E點在x軸下方,

E點縱坐標(biāo)和C點縱坐標(biāo)相同,

當(dāng)y=﹣5時,代入可得x2+x=﹣5,解得x=﹣2或x=0(舍去),

E點坐標(biāo)為(﹣2,﹣5);

(3)假設(shè)存在滿足條件的P點,其坐標(biāo)為(m,m2+m﹣5),

如圖,連接AP、CE、AE,過E作EDAC于點D,過P作PQx軸于點Q,

則AQ=AO+OQ=5+m,PQ=|m2+m﹣5|

在RtAOC中,OA=OC=5,則AC=5,ACO=DCE=45°,

由(2)可得EC=2,在RtEDC中,可得DE=DC=,

AD=AC﹣DC=5=4,

當(dāng)BAP=CAE時,則EDA∽△PQA,

,即=

m2+m﹣5=(5+m)或m2+m﹣5=﹣(5+m),

當(dāng)m2+m﹣5=(5+m)時,整理可得4m2﹣5m﹣75=0,解得m=或m=﹣5(與A點重合,舍去),

當(dāng)m2+m﹣5=﹣(5+m)時,整理可得4m2+11m﹣45=0,解得m=或m=﹣5(與A點重合,舍去),

存在滿足條件的點P,其橫坐標(biāo)為

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