Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=x2﹣x﹣3與x軸交于A和B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D

（1）求出點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；

（2）如圖1，若線段OB在x軸上移動，且點(diǎn)O，B移動后的對應(yīng)點(diǎn)為O′，B′．首尾順次連接點(diǎn)O′、B′、D、C構(gòu)成四邊形O′B′DC，請求出四邊形O′B′DC的周長最小值．

（3）如圖2，若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N在y軸上，連接CM、MN．當(dāng)△CMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0），B（4，0），D（1，﹣）；（2）4++；（3）N的坐標(biāo)為（0，）、（0，）、（0，﹣）或（0，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）令拋物線解析式中y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用配方法將拋物線解析式進(jìn)行配方即可得出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）作點(diǎn)C（0，﹣3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′（0，3），將點(diǎn)C′（0，3）向右平移4個單位得到點(diǎn)C″（4，3），連接DC″，交x軸于點(diǎn)B′，將點(diǎn)B′向左平移4個單位得到點(diǎn)O′，連接CO′，CO″，則四邊形O′B′C′C″為平行四邊形，此時四邊形O′B′DC周長取最小值．再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出CD、DC″的長度，即可得出結(jié)論；（3）按點(diǎn)M的位置不同分兩種情況考慮：①點(diǎn)M在直線y=x﹣3上，聯(lián)立直線與拋物線解析式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)；②點(diǎn)M在直線y=﹣x﹣3上，聯(lián)立直線與拋物線解析式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)．綜合兩種情況即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）令y=x2﹣x﹣3中y=0，則x2﹣x﹣3=0，解得：x1=﹣2，x2=4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵y=x2﹣x﹣3=（x2﹣2x）﹣3=（x﹣1）2﹣，∴D（1，﹣）．（2）令y=x2﹣x﹣3中x=0，則y=﹣3，∴C（0，﹣3）．D（1，﹣），O′B′=OB=4．如圖1，

作點(diǎn)C（0，﹣3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′（0，3），將點(diǎn)C′（0，3）向右平移4個單位得到點(diǎn)C″（4，3），連接DC″，交x軸于點(diǎn)B′，將點(diǎn)B′向左平移4個單位得到點(diǎn)O′，連接CO′，C′O′，則四邊形O′B′C′C″為平行四邊形，此時四邊形O′B′DC周長取最小值．此時C四邊形O′B′DC=CD+O′B′+CO′+DB′=CD+O′B′+DC″．∵O′B′=4，CD==，C″D==，∴四邊形O′B′DC的周長最小值為4++．（3）△CMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形分兩種情況（如圖2）：

，①過點(diǎn)C作直線y=x﹣3交拋物線于點(diǎn)M，聯(lián)立直線CM和拋物線的解析式得：，解得：或（舍去），∴M（，）．∵△CMN為等腰直角三角形，C（0，﹣3），∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，）或（0，）；②過點(diǎn)C作直線y=﹣x﹣3交拋物線于點(diǎn)M，聯(lián)立直線CM和拋物線的解析式得：，解得：或（舍去），∴M（﹣，﹣）．∵△CMN為等腰直角三角形，C（0，﹣3），∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，﹣）或（0，﹣）．綜上可知：當(dāng)△CMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，）、（0，）、（0，﹣）或（0，﹣）．