【題目】已知OABC的頂點A、C分別在直線x=2和x=4上,O為坐標原點,直線x=2分別與x軸和OC邊交于D、E,直線x=4分別與x軸和AB邊的交于點F、G.

(1)如圖,在點A、C移動的過程中,若點B在x軸上,
①直線 AC是否會經(jīng)過一個定點,若是,請直接寫出定點的坐標;若否,請說明理由.
OABC是否可以形成矩形?如果可以,請求出矩形OABC的面積;若否,請說明理由.
③四邊形AECG是否可以形成菱形?如果可以,請求出菱形AECG的面積;若否,請說明理由.
(2)在點A、C移動的過程中,若點B不在x軸上,且當OABC為正方形時,直接寫出點C的坐標.

【答案】
(1)

解:①是,經(jīng)過定點(3,0).理由如下:

如圖1中,連接AC交OB于K.

∵四邊形OABC是平行四邊形,

∴OK=KB,BC∥OA,BC=OA,

∴∠CBF=∠AOD,

在△DOA和△FBC中,

,

∴△DOA≌△FBC,

∴OD=FB=2,

∴OB=6,

∵OK=KB,

∴OK=3,

∴K(3,0),

∴直線AC經(jīng)過定點K(3,0).

②可以.利用如下:

當∠OCB=90°時,四邊形OABC是矩形,

由(1)可知△DOA≌△FBC,

∴OD=BF=2,

∵∠OCF+∠FCB=90°,∠FCB+∠CBF=90°,

∴∠OCF=∠CBF,

∵∠CFO=∠CFB,

∴△CFO∽△BFC,

= ,

=

∴CF=2 ,

∴S矩形OABC=2SOBC=2× × =12

③可以.理由如下:

如圖3中,易知當OE=EC=AE時,四邊形AECG是菱形.

由(1)可知,△DOA≌△FBC,

∴AD=CF,

∵DE= CF,設DE=x,則AD=CF=2x,OE=AE=3x,

在Rt△ADE中,∵OE2=OD2+DE2

∴9x2=x2+4,

∴x= ,

∴AE=

∴S菱形AECG=AEDF= ×2=3


(2)

解:如圖4中,

當四邊形OABC是正方形時,易證△DOA≌△FCO,

∴OD=CF=2,

∴點C坐標(4,2),

根據(jù)對稱性C′(4,﹣2)時,也滿足條件.

綜上所述,點C坐標為(4,2)或(4,﹣2)


【解析】(1)①是,經(jīng)過定點(3,0).如圖1中,連接AC交OB于K,只要證明OD=FB=2,推出OB=6,即可解決問題.②當∠OCB=90°時,四邊形OABC是矩形,由(1)可知△DOA≌△FBC,推出OD=BF=2,由△CFO∽△BFC,可得 = ,由此即可解決問題.③可以.如圖3中,易知當OE=EC=AE時,四邊形AECG是菱形.由(1)可知,△DOA≌△FBC,推出AD=CF,易知DE= CF,設DE=x,則AD=CF=2x,OE=AE=3x,在Rt△ADE中,根據(jù)OE2=OD2+DE2 , 列出方程即可解決問題.(2)如圖4中,當四邊形OABC是正方形時,易證△DOA≌△FCO,推出OD=CF=2,推出點C坐標(4,2),根據(jù)對稱性C′(4,﹣2)時,也滿足條件.
【考點精析】認真審題,首先需要了解菱形的性質(菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半),還要掌握矩形的性質(矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等)的相關知識才是答題的關鍵.

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