【題目】如圖,直線l:y=kx+b(k<0)與函數(shù)y= (x>0)的圖象相交于A、C兩點,與x軸相交于T點,過A、C兩點作x軸的垂線,垂足分別為B、D,過A、C兩點作y軸的垂線,垂足分別為E、F;直線AE與CD相交于點P,連接DE,設(shè)A、C兩點的坐標(biāo)分別為(a, )、(c, ),其中a>c>0.
(1)如圖①,求證:∠EDP=∠ACP;
(2)如圖②,若A、D、E、C四點在同一圓上,求k的值;
(3)如圖③,已知c=1,且點P在直線BF上,試問:在線段AT上是否存在點M,使得OM⊥AM?請求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
證明:由題意可知P(c, ),E(0, ),D(c,0),
∴PA=a﹣c,EP=c,PC= ﹣ = ,DP= ,
∴ = = ,且∠EPD=∠APC,
∴△EPD∽△CPA,
∴∠EDP=∠ACP
(2)
如圖1,連接AD、EC,
由(1)可知DE//AC,
∴∠DEC+∠ECA=180°,
∵A、D、E、C四點在同圓周上,
∴∠DEC+∠DAC=180°,
∴∠ECA=∠DAC,
在△AEC和△CDA中
∴△AEC≌△CDA(AAS),
∴CD=AE,即a= ,可得ac=4,
∵A、C在直線l上,
∴ ,解得k= =﹣ =﹣1
(3)
假設(shè)在線段AT上存在點M,使OM⊥AM,連接OM、OA,作MN⊥x軸于點N,如圖2,
∵c=1,
∴C(1,4),F(xiàn)(0,4),P(1, ),B(a,0),
設(shè)直線BF的解析式為y=k′x+4,由題意可得 ,解得a=2,
∴A(2,2),
∴AP為△DCT的中位線,
∴T(3,0),
∴AT= =
∵S△OAT= OTAB= ATOM,
∴OM= = = ,
在Rt△OMT中,MT= = = ,
同理可求得MN= = ,
在Rt△OMN中,ON= = = ,
∵2< <3,
∴點M在線段AT上,
即在線段AT上存在點M,使得OM⊥AM,M點的坐標(biāo)為( , )
【解析】(1)由P、E、D的坐標(biāo)可表示出PA、EP、PC和DP的長,可證明△EPD∽△CPA,利用相似三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論;(2)連接AD、EC,可證明△AEC≌△CDA,可得CD=AE,把A、C坐標(biāo)代入直線l解析式,可求得k的值;(3)假設(shè)在線段AT上存在點M,使得OM⊥AM,連接OM、OA,可表示出C、F、P、B的坐標(biāo),利用直線BF的解析式可求得a的值,可求得A點坐標(biāo),可求得T點坐標(biāo),在△OAT中,利用等積法可求得OM的長,在RtOMT中可求得MT的長,作MN⊥x軸,同理可求得MN的長,則可求得ON的長,可判斷N在線段BT上,滿足條件,從而可知存在滿足條件的M點.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解一次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握一般地,一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì):(1)當(dāng)k>0時,y隨x的增大而增大(2)當(dāng)k<0時,y隨x的增大而減小.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(﹣1,0)和B(3,0),與y軸交于點C,點D的橫坐標(biāo)為m(0<m<3),連結(jié)DC并延長至E,使得CE=CD,連結(jié)BE,BC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)用含m的代數(shù)式表示點E的坐標(biāo),并求出點E縱坐標(biāo)的范圍;
(3)求△BCE的面積最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB、CD相交于點O,P是CD上一點,
(1)過點P作AB的垂線段PE;
(2)過點P作CD的垂線,與AB相交于點F;
(3)將線段PE、PF、FO從小到大排列為_____,這樣排列的依據(jù)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直角三角形的三邊長分別為a、b、c,以直角三角形的三邊為邊(或直徑),分別向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形。那么,這四個圖形中,其面積滿足的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將一副直角三角尺的直角頂點C疊放在一起.
(1)如圖 1,若 CE 恰好是∠ACD 的角平分線,請你猜想此時 CD 是不是∠ECB 的角平分線?只回答出“是”或“不是”即可;
(2)如圖 2,若∠ECD=α,CD 在∠BCE 的內(nèi)部,請你猜想∠ACE 與∠DCB是否相等?并簡述理由;
(3)在(2)的條件下,請問∠ECD 與∠ACB 的和是多少?并簡述理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,對角線AC與BD交于點O,若增加一個條件,使ABCD成為菱形,下列給出的條件正確的是( )
A. AB=AD B. AC=BD C. ∠ABC=90° D. ∠ABC=∠ADC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在學(xué)校組織的知識競賽中,八(1)班比賽成績分為A,B,C,D四個等級,其中相應(yīng)等級的得分依次記為100分,90分,80分,70分,學(xué)校將八(1)班成績整理并繪制成如下的統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)以上提供的信息解答下列問題:
(1)請根據(jù)統(tǒng)計圖的信息求出成績?yōu)?/span>C等級的人數(shù);
(2)將表格補充完整.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四邊形ABCD的對角線相交于O,給出下列 5個條件:①AB∥CD ;②AD∥BC;③AB=CD ;④∠BAD=∠BCD;⑤OA=OC.從以上5個條件中任選 2個條件為一組,能推出四邊形ABCD為平行四邊形的有( )
A. 4組 B. 5組 C. 6組 D. 7組
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為2的菱形ABCD中,∠B=45°,AE為BC邊上的高,將△ABE沿AE所在直線翻折得△AB′E,AB′與CD邊交于點F,則B′F的長度為( )
A. 1 B. C. 2-2 D. 2-
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