Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC．過點B作⊙O的切線，交AC的延長線于點D，在AD上取一點E，使AE＝AB，連接BE，交⊙O于點F．

請補全圖形并解決下面的問題：

（1）求證：∠BAE＝2∠EBD；

（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝．求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BD＝.

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證明∠BAE＝2∠BAF，再證明∠EBD＝∠BAF即可解決問題；

（2）作EH⊥BD于H．由sin∠BAF＝sin∠EBD＝，AB＝5，推出BF＝，推出BE＝2BF＝2，在Rt△ABF中，EH＝BEsin∠EBH＝2，推出BH＝＝4，由EH∥AB，推出＝，由此即可求出DH解決問題；

（1）證明：連接AF．

∵AB是直徑，

∴∠AFB＝90°，

∴AF⊥BE，

∵AB＝AE，

∴∠BAE＝2∠BAF，

∵BD是⊙O的切線，

∴∠ABD＝90°，

∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°，

∴∠EBD＝∠BAF，

∴∠BAE＝2∠EBD．

（2）解：作EH⊥BD于H．

∵∠BAF＝∠EBD，

∴sin∠BAF＝sin∠EBD＝，∵AB＝5，

∴BF＝，

∴BE＝2BF＝2，

在Rt△ABF中，EH＝BEsin∠EBH＝2，

∴BH＝＝4，

∵EH∥AB，

∴，

∴，

∴DH＝，

∴BD＝BH+HD＝．