Question

【題目】如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上一點(diǎn)，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．
（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；
（2）連接FC，觀察并猜測∠FCN的度數(shù)，并說明理由；
（3）如圖（2），將圖（1）中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b為常數(shù)），E是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上．判斷當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠FCN的大小是否總保持不變？若∠FCN的大小不變，請用含a、b的代數(shù)式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小發(fā)生改變，請舉例說明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，

∴∠BAE=∠DAG，

∴△BAE≌△DAG

（2）解：∠FCN=45°，

理由是：作FH⊥MN于H，

∵∠AEF=∠ABE=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，

∴∠FEH=∠BAE，

又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，

∴△EFH≌△ABE，

∴FH=BE，EH=AB=BC，

∴CH=BE=FH，

∵∠FHC=90°，

∴∠FCN=45°

（3）解：當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠FCN的大小總保持不變，

理由是：作FH⊥MN于H，

由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，

結(jié)合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，

又∵G在射線CD上，

∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，

∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，

∴EH=AD=BC=b，

∴CH=BE，

∴ ；

在Rt△FEH中，tan∠FCN= = = ，

∴當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠FCN的大小總保持不變，tan∠FCN= ．

【解析】（1）根據(jù)三角形判定方法進(jìn)行證明即可．（2）作FH⊥MN于H．先證△ABE≌△EHF，得到對應(yīng)邊相等，從而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度數(shù)就可以求得了．（3）本題也是通過構(gòu)建直角三角形來求度數(shù)，作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：CH．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對角線相等；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．