【題目】將△ABC的邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α得到AB,邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC′,αβ=180°.連接BC,作△ABC的中線AD

(初步感知)

(1)如圖,當∠BAC=90°,BC=4時,AD的長為______;

(探索證明)

(2)如圖②,△ABC為任意三角形時,猜想ADBC的數(shù)量關(guān)系,并證明

(應(yīng)用延伸)

(3)如圖,已知等腰△ACB,AC=BC=m,延長ACD,延長CBE,使CD=CE=n,將△CEDC順時針旋轉(zhuǎn)一周得到△CED,連接BE′、AD,若∠CBE′=90°,求AD的長度(用含mn的代數(shù)式表示)

【答案】(1)2;(2)(2)AD=BC,理由見解析;(3)AD′=.

【解析】1)首先證明BAC≌△B′AC′,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題;

(2)結(jié)論:AD=BC.如圖,延長ADE,使得DE=AD,連接B′E,C′E,首先證明四邊形AC′EB′是平行四邊形,再證明BAC≌△AB′E,即可解決問題;

(3)分情況進行討論即可得.

1)∵∠BAC=90°,BAC+B′AC′=180°,

∴∠B′AC′=BAC=90°,

AB=AB′,AC=AC′,

∴△BAC≌△B′AC′,

BC=B′C′,

B′D=DC′,

AD=B′C′=BC==2,

故答案為:2;

(2)AD=BC,理由如下

如圖,延長AD至點E,使得DE=AD,

B′D=C′D,∴四邊形AC′EB′為平行四邊形,

B′EAC′,B′E=AC′=AC,∴∠AB′E+B′AC′=180°,

α+β=180°,∴∠BAC+B′AC′=180°,∴∠AB′E=BAC,

AB′=AB,AB′E≌△BAC,AE=BC,

AD=AE=BC;

(3)情況一:如圖,過點CBCE′的中線CF,

RtBCE′中,由勾股定理

得:;

BF=BE′=,

RtBCF中,由勾股定理得:CF===,

由(2)可知:AD′=;

情況二:如圖,作CBE′的中線CF并延長到G,使FG=CF,連接BG、E′G,

BF=E′F,CF=GF,∴四邊形BCE′G為平行四邊形,

BC=GE′,BCGE′,BC=AC,AC=GE′,

由旋轉(zhuǎn)可知∠1=BCE′,∵∠1+ACD′=180°,GE′C+BCE′=180°,∴∠ACD′=GE′C,

CD′=E′C,ACD′≌△GE′C,AD′=GC

由情況一可知:BE′=,AD′=

練習冊系列答案
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初步思考:

1)若點P落在矩形ABCD的邊AB上(如圖①)

①當點P與點A重合時,∠DEF   °;當點E與點A重合時,∠DEF   °;

②當點EAB上,點FDC上時(如圖②),

求證:四邊形DEPF為菱形,并直接寫出當AP3.5時的菱形EPFD的邊長.

深入探究

2)若點P落在矩形ABCD的內(nèi)部(如圖③),且點E、F分別在ADDC邊上,請直接寫出AP的最小值   

拓展延伸

3)若點F與點C重合,點EAD上,線段BA與線段FP交于點M(如圖④).在各種不同的折疊位置中,是否存在某一情況,使得線段AM與線段DE的長度相等?若存在,請直接寫出線段AE的長度;若不存在,請說明理由.

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(1)求證:BD=BF;
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連接DE ,則DE的最小值為__________

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(1)被隨機抽取的學生共有多少名?

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