Question

直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB=AD=3，邊BC, AB分別在x軸和y軸上，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（4,0）。動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BC方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，以與P點(diǎn)相同的速度沿DA方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí), P,Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
(1)求線段CD的長。
(2) 連接PQ交直線AC于點(diǎn)E，當(dāng)AE : EC="1" : 2時(shí)，求t的值，并求出此時(shí)△PEC的面積。
(3) 過Q點(diǎn)作垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，連接PM，
①是否存在某一時(shí)刻，使以Ｍ、P、Ｃ三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在 ，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
②當(dāng)t=         時(shí)，點(diǎn)P、M、D在同一直線上。（直接寫出）

	備用圖

 

Answer 1

（1）CD= 
(2) ∵AD∥BC   ∴△AQE∽△CPE
∴  即 解得t=2
∴PC=BC－BP=4－2=2
∴S△PEC=PC× AB=×2×2="2"

y

  (3) ① 存在， 易求 MC= (t+1) ，PC=4－t

       若PC="MC" , 則 (t+1) =4－t 解得t=
若MP="MC," 則PN="CN" ，∴3－2t=1+t 解得t=
若 MP="PC," 如圖, 作PF⊥AC于點(diǎn)F

則CF:CP=CO:CA= 
即= 解得t=   
②  t=1。

(1)利用直角三角形解出CD的長；
（2）利用△AQE∽△CPE得出，從而算出t.再根據(jù)相似三角形求出△PEC的高，然后求出△PEC的面積；
（3）① 存在，分三種情況進(jìn)行討論；②根據(jù)三點(diǎn)在一直線上的性質(zhì)得出結(jié)果。