Question

如圖，在△ABC中，∠ACB＞90°，D是AC的中點(diǎn)，E是線段BC延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的平行線與線段ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F
（1）求證：DE=DF； 
（2）若AC丄EF試判斷四邊形AFCE的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)∠B=22.5，CA=CB時(shí)，請(qǐng)?zhí)剿鳎狐c(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中能否使四邊形成為AFCE成為正方形？若不能，請(qǐng)說明理由；若能，求出BC與CE的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AF∥BE，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠FAC=∠ACE，然后證明△AFD與△ECD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CE，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形AFCE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分即可得證；
（2）根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可判定；
（3）先根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠ACE的度數(shù)是45°，四邊形成為AFCE成為正方形，則AE⊥BE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，AC=

2

AE，即BC=

2

AE．

解答：（1）證明：∵AF∥BE，
∴∠FAC=∠ACE，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴AD=CD，
在△AFD與△ECD中，

∠FAC=∠ACE AD=CD ∠ADF=∠CDE(對(duì)頂角相等)

，
∴△AFD≌△ECD（ASA），
∴AF=CE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
∴DE=DF；

（2）解：是菱形．
理由如下：∵AC丄EF，四邊形AFCE是平行四邊形，
∴四邊形AFCE是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）；

（3）能．
理由如下：∵∠B=22.5°，CA=CB，
∴∠BAC=∠B=22.5°，
∴∠ACE=∠B+∠BAC=22.5°×2=45°，
∵四邊形AFCE為正方形，
∴AE⊥CE，
∴Rt△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=

2

CE，
故BC=

2

CE，
故當(dāng)BC=

2

CE時(shí)，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中能否使四邊形成為AFCE成為正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，是綜合題，但難度不大，只要仔細(xì)分析圖形，并熟練掌握各定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．