Question

【題目】已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（4，0）、B（﹣2，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，四邊形ABCD的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最值；

（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且∠BPC＝45°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝ x2﹣x﹣4；（2）S＝﹣（m﹣2）2+16，S的最大值為16；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，﹣1+）或（1，﹣1﹣）．

【解析】

（1）根據(jù)交點(diǎn)式可求出拋物線的解析式；
（2）由S=S△OBC+S△OCD+S△ODA，即可求解；
（3）∠BPC=45°，則BC對(duì)應(yīng)的圓心角為90°，可作△BCP的外接圓R，則∠BRC=90°，過點(diǎn)R作y軸的平行線交過點(diǎn)C與x軸的平行線于點(diǎn)N、交x軸于點(diǎn)M，證明△BMR≌△RNC（AAS）可求出點(diǎn)R（1，-1），即點(diǎn)R在函數(shù)對(duì)稱軸上，即可求解．

解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（4，0）、B（﹣2，0），

∴拋物線的表達(dá)式為：y＝（x﹣4）（x+2）＝ x2﹣x﹣4；

（2）設(shè)點(diǎn)D（m， m2﹣m﹣4），可求點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-4），

∴S＝S△OBC+S△OCD+S△ODA

＝

＝﹣（m﹣2）2+16，

當(dāng)m＝2時(shí)，S有最大值為16；

（3）∠BPC＝45°，則BC對(duì)應(yīng)的圓心角為90°，如圖作圓R，則∠BRC＝90°，

圓R交函數(shù)對(duì)稱軸為點(diǎn)P，過點(diǎn)R作y軸的平行線交過點(diǎn)C與x軸的平行線于點(diǎn)N、交x軸于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)R（m，n）．

∵∠BMR+∠MRB＝90°，∠MRB+∠CRN＝90°，

∴∠CRN＝∠MBR，

∠BMR＝∠RNC＝90°，BR＝RC，

∴△BMR≌△RNC（AAS），

∴CN＝RM，RN＝BM，

即m+2＝n+4，﹣n＝m，

解得：m＝1，n＝﹣1，

即點(diǎn)R（1，﹣1），即點(diǎn)R在函數(shù)對(duì)稱軸上，

圓的半徑為：＝，

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，﹣1+）或（1，﹣1﹣）．