Question

【題目】已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，點E在對角線AC上（不與點A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延長線與射線CB交于點F，設AD的長為x．

（1）如圖1，當DF⊥BC時，求AD的長；

（2）設EC＝y，求y關于x的函數(shù)解析式，并直接寫出定義域；

（3）當△DFC是等腰三角形時，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）AD＝；（2）y＝x2﹣x+10（0＜x≤10）；（3）AD的長為6和．

【解析】

（1）證明△ADC∽△DCE，利用ACCE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝105a，即可求解；

（2）過點C作CH⊥AD交AD的延長線于點H，CD2＝CH2+DH2＝（ACsinα）2+（ACcosα﹣x）2，即可求解；

（3）分DF＝DC、FC＝DC、FC＝FD三種情況，求解即可．

（1）設∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD，

∵cosα＝，

∴sinα＝，

過點A作AH⊥BC交于點H，

AH＝ACsinα＝6＝DF，BH＝2，

如圖1，設：FC＝4a，

∴cos∠ACB＝，則EF＝3a，EC＝5a，

∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，

∴△ADC∽△DCE，

∴ACCE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝105a，

解得：a＝2或（舍去a＝2），

AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝；

（2）過點C作CH⊥AD交AD的延長線于點H，

CD2＝CH2+DH2＝（ACsinα）2+（ACcosα﹣x）2，

即：CD2＝36+（8﹣x）2，

由（1）得：ACCE＝CD2，

即：y＝x2﹣x+10（0＜x≤10）…①，

（3）①當DF＝DC時，

∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC，

∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC，

∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，

即：10＝x2﹣x+10+x，

解得：x＝6；

②當FC＝DC，

則∠DFC＝∠FDC＝α，

則：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y，

在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα＝，

即：5x+8y＝80，

將上式代入①式并解得：x＝；

③當FC＝FD，

則∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立，

故：該情況不存在；

故：AD的長為6和．