Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（4，3）．平行于對角線AC的直線m從原點O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設(shè)直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點M、N，直線m運動的時間為t（秒）．
（1）點A的坐標是

 

，點C的坐標是

 

；
（2）設(shè)△OMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）探求（2）中得到的函數(shù)S有沒有最大值？若有，求出最大值；若沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)B點的坐標即可求出A、C的坐標．
（2）本問要分類進行討論：
①當直線m在AC下方或與AC重合時，即當0＜t≤4時，根據(jù)平行得到兩對同位角的相等可證△OMN∽△OAC，用兩三角形的相似比求出面積比，即可得出S與t的函數(shù)關(guān)系式．
②當直線m在AC上方時，即當4＜t＜8時，由平行得到一對同位角相等，再由一對直角的相等得到△DAM∽△AOC，根據(jù)相似得比例，由OD，AD表示出AM的長，進而得到BM的長，再由MN∥AC，得到兩對同位角的相等，從而得到△BMN∽△BAC，由相似得比例BN的長，從而得到CN的長，然后分別表示出各個三角形的面積，可用矩形OABC的面積-三角形BMN的面積-三角形OCN的面積-三角形OAM的面積來求得．
（3）根據(jù)（2）得出的函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍即可求出面積S的最大值及對應(yīng)的t的值．

解答：解：（1）（4，0），（0，3）；

（2）當0＜t≤4時，OM=t
∵MN∥AC，
∴∠OMN=∠OAC，∠ONM=∠OCA，
∴△OMN∽△OAC，
∴

OM

OA

=

ON

OC

，即

t

4

=

ON

3

，
∴ON=

3

4

t，則S=

1

2

OM•ON=

3

8

t²；
當4＜t＜8時，
如圖，∵OD=t，
∴AD=t-4，
∵MN∥AC，
∴∠CAO=∠MDA，
又∠COA=∠MAD=90°，
∴△DAM∽△AOC，可得AM=

3

4

（t-4），
∴BM=6-

3

4

t，
∵MN∥AC，
∴∠BNM=∠BCA，∠BMN=∠BAC，
∴△BMN∽△BAC，可得BN=

4

3

BM=8-t
∴CN=t-4
S=矩形OABC的面積-Rt△OAM的面積-Rt△MBN的面積-Rt△NCO的面積
=12-

3

2

（t-4）-

1

2

（8-t）（6-

3

4

t）-

3

2

(t-4)=-

3

8

t²+3t

（3）有最大值．
當0＜t≤4時，
∵拋物線S=

3

8

t²的開口向上，在對稱軸t=0的右邊，S隨t的增大而增大
∴當t=4時，S可取到最大值

3

8

×4²=6；（11分）
當4＜t＜8時，
∵拋物線S=-

3

8

t²+3t的開口向下，它的頂點是（4，6），
∴S≤6，
綜上，當t=4時，S有最大值6．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用、圖形的面積求法等知識，其中涉及到的知識點有相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)求最值的方法，在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果，考查了學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力．