Question

（1）已知：如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，點P為弧BC上一動點，求證：PA=PB+PC；
（2）如圖2，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點P為弧BC上一動點，求證：PA=PC+

2

PB；
（3）如圖3，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，點P為弧BC上一動點，請?zhí)骄縋A、PB、PC三者之間有何數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）延長BP至E，使PE=PC，連接CE，證明△PCE是等邊三角形．利用CE=PC，∠E=∠3=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；
（2）過點B作BE⊥PB交PA于E，證明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+

2

PB．
（3）在AP上截取AQ=PC，連接BQ可證△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因為∠APB=30°．所以PQ=

3

PB，PA=PQ+AQ=

3

PB+PC．

解答：證明：（1）延長BP至E，使PE=PC，
連接CE．∵A、B、P、C四點共圓，
∴∠BAC+∠BPC=180°，
∵∠BPC+∠EPC=180°，
∴∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，
∴△PCE是等邊三角形，
∴CE=PC，∠E=60°；
又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，
∴∠BCE=∠ACP，
∵△ABC、△ECP為等邊三角形，
∴CE=PC，AC=BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA=BE=PB+PC．（2分）

（2）過點B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3，
又∵∠APB=45°，
∴BP=BE，∴PE=

2

PB；
又∵AB=BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC=AE．
∴PA=AE+PE=PC+

2

PB．（4分）

（3）答：PA=PC+

3

PB；
證明：過點B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，
連接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ=BP．
∴MP=QM，
又∵∠APB=30°，
∴cos30°=

PM

BP

，
∴PM=

3

2

PB，
∴PQ=

3

PB
∴PA=PQ+AQ=

3

PB+PC（7分）

點評：本題考查三角形全等的性質(zhì)和判定方法以及正多邊形和圓的有關(guān)知識．要熟悉這些基本性質(zhì)才能靈活運用解決綜合性的習題．