【題目】已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=4.P是對角線BD上的一個動點(點P不與點B、D重合),過點P作PF⊥BD,交射線BC于點F.聯(lián)結(jié)AP,畫∠FPE=∠BAP,PE交BF于點E.設PD=x,EF=y.
(1)當點A、P、F在一條直線上時,求△ABF的面積;
(2)如圖1,當點F在邊BC上時,求y關于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)定義域;
(3)聯(lián)結(jié)PC,若∠FPC=∠BPE,請直接寫出PD的長.
【答案】(1)1;(2)y=;(3)PD的長為±1或.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)矩形ABCD , A、P、F在一條直線上,且PF⊥BD,可得, ,得一,從而可得 ;
(2)先證明∽ ,從而得到 ,由AD//BC ,可得,從而根據(jù)三角函數(shù)可得 ,由得 ,代入,即可得;
(3)分∠CPF的∠FPE的內(nèi)部與外部兩種情況進行討論即可得.
試題解析:(1)∵矩形ABCD ,∴,
∴ , ∵A、P、F在一條直線上,且PF⊥BD,
∴ , ∴,
∴,∵,
∴ , ∴,
∴ ;
(2)∵PF⊥BP ,∴,
∴ ,∵ ,∴,
∴, 又∵∠BAP =∠FPE,
∴∽ ,∴ ,
∵AD//BC , ∴,
∴ , 即 ,
∵ , ∴ ,
∴,
∴;
(3)∠CPF=∠BPE,
①如圖所示,當點F在CE上時,
∵∠BPF=∠FPD=90°,∴∠DPC=∠FPE,
∵∠FPE=∠BAP,∴∠DPC=∠BAP,
∵AB//CD,∴∠ABD=∠CDB,
∴△PAB∽△CPD,
∴PB:CD=AB:PD,
∴PB·PD=CD·AB,
∴x()=2×2,
∴x=;
②如圖所示,當點F在EC延長線上時,
過點P作PN⊥CD于點N,在CD上取一點M,連接PM,使∠MPF=∠CPF,
則有PC:PM=CH:MH,
∵∠BPF=∠DPF=90°,∴∠BPC=∠DPM,
∵∠BPE=∠CPF,∴∠BPE=∠EPF,
∵∠BAP=∠FPE,∴∠BAP=∠DPM,
∵∠ABD=∠BDC,
∴△PAB∽△MPD,
∴PB:MD=AB:PD,
由PD=x,tan∠PDM=tan∠PFC=2,
易得:DN= ,PN= ,CN=2- ,
PH=2x,F(xiàn)H= ,CH=2-x,
由PB:MD=AB:PD可得MD= ,從而可得MN,
在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC,
由PC:PM=CH:MH可得PM,
在在Rt△PMN中利用勾股定理可得關于x 的方程,
解得x= ,
綜上:PD的長為: 或 .
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【題目】在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖象與軸交于A(-3,0),B(1,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)點P是直線AC上方的拋物線上一動點,是否存在點P,使△ACP的面積最大?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由;
(3)點Q是直線AC上方的拋物線上一動點,過點Q作QE垂直于軸,垂足為E.是否存在點Q,使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,說明理由;
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【題目】如圖是拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,拋物線的頂點坐標A(1,3),與x軸的一個交點B(4,0),直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A,B兩點,下列結(jié)論:
①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數(shù)根;④拋物線與x軸的另一個交點是(-1,0);⑤當1<x<4時,有y2<y1,
其中正確的是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②④⑤
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【題目】如圖,菱形的邊長為是邊的中點,是邊上的一個動點,將線段繞著逆時針旋轉(zhuǎn),得到,連接,則的最小值為( )
A. B. C. D.
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【題目】菱形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示,對角線AC與BD的交點E恰好在y軸上,過點D和BC的中點H的直線交AC于點F,線段DE,CD的長是方程x2﹣9x+18=0的兩根,請解答下列問題:
(1)求點D的坐標;
(2)若反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象經(jīng)過點H,則k= ;
(3)點Q在直線BD上,在直線DH上是否存在點P,使以點F,C,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】某地區(qū)在一次九年級數(shù)學做了檢測中,有一道滿分8分的解答題,按評分標準,所有考生的得分只有四種:0分,3分,5分,8分.老師為了了解學生的得分情況與題目的難易情況,從全區(qū)4500名考生的試卷中隨機抽取一部分,通過分析與整理,繪制了如下兩幅圖不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)填空:a= ,b= ,并把條形統(tǒng)計圖補全;
(2)請估計該地區(qū)此題得滿分(即8分)的學生人數(shù);
(3)已知難度系數(shù)的計算公式為L=,其中L為難度系數(shù),X為樣本平均得分,W為試題滿分值.一般來說,根據(jù)試題的難度系數(shù)可將試題分為以下三類:當0<L≤0.4時,此題為難題;當0.4<L≤0.7時,此題為中等難度試題;當0.7<L<1時,此題為容易題.試問此題對于該地區(qū)的九年級學生來說屬于哪一類?
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【題目】如圖,用同樣規(guī)格的黑白兩色正方形瓷磚鋪設長方形地面,觀察下列圖形,探究并解答問題:
(1)在第4個圖中,共有白色瓷磚______塊;在第個圖中,共有白色瓷磚_____塊;
(2)試用含的代數(shù)式表示在第個圖中共有瓷磚的塊數(shù);
(3)如果每塊黑瓷磚35元,每塊白瓷磚50元,當時,求鋪設長方形地面共需花多少錢購買瓷磚?
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【題目】對于任意四個有理數(shù)a,b,c,d,可以組成兩個有理數(shù)對(a,b)與(c,d).我們規(guī)定:
(a,b)★(c,d)=bc-ad.
例如:(1,2)★(3,4)=2×3-1×4=2.
根據(jù)上述規(guī)定解決下列問題:
(1)有理數(shù)對(2,-3)★(3,-2)=_______;
(2)若有理數(shù)對(-3,2x-1)★(1,x+1)=7,則x=_______;
(3)當滿足等式(-3,2x-1)★(k,x+k)=5+2k的x是整數(shù)時,求整數(shù)k的值.
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【題目】 “囧”(jiong)是近時期網(wǎng)絡流行語,像一個人臉郁悶的神情.如圖所示,一張邊長為20的正方形的紙片,剪去兩個一樣的小直角三角形和一個長方形得到一個“囧”字圖案(陰影部分).設剪去的小長方形長和寬分別為x、y,剪去的兩個小直角三角形的兩直角邊長也分別為x、y.
(1)用含有x、y的代數(shù)式表示右圖中“囧”的面積;
(2)當時,求此時“囧”的面積.
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