Question

（i）有這樣一道題：“

x2-2x+1

x2-1

÷

x-1

x2+x

-x，其中x=2007”甲同學(xué)把“x=2007”錯(cuò)抄成“x=2070”，但他計(jì)算的結(jié)果也是正確的，你說(shuō)這是怎么一回事？

（ii）閱讀下列解題過(guò)程，并填空：
解方程

1

x+2

+

4x

(x+2)(x-2)

=

2

2-x

解：方程兩邊同時(shí)乘以（x+2）（x-2）
去分母得：①
（x-2）+4x=2（x+2）②
去括號(hào)，移項(xiàng)得
x-2+4x-2x-4=0    ③
解這個(gè)方程得x=2④
所以x=2是原方程的解⑤問(wèn)題：（1）上述過(guò)程是否正確答：

 

．
（2）若有錯(cuò)，錯(cuò)在第

 

步．
（3）錯(cuò)誤的原因是

 

（4）該步改正為

 

．

（iii）E是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分別是F、G．求證：AE=FG，

Answer 1

分析：（1）對(duì)分式化簡(jiǎn)后得到的是一個(gè)數(shù)字，則說(shuō)明不管x取何值，原分式的值不變；
（2）第二步在都乘以公分母時(shí)，右邊符號(hào)出錯(cuò)，少了一個(gè)負(fù)號(hào)，第五步?jīng)]有檢驗(yàn)就說(shuō)是原分式方程的解；
（3）連接CE，把求AE=FG，轉(zhuǎn)化成求CE=AE．根據(jù)題意，可以容易得出四邊形GEFC是矩形，那么本題可證．

解答：解：（i）

x2-2x+1

x2-1

÷

x-1

x2+x

-x=

(x-1)2

(x-1)(x+1)

•

x(x+1)

(x-1)

-x=x-x=0，
通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：當(dāng)x取式子有意義的任何值時(shí)，結(jié)果與取的值無(wú)關(guān)．
故甲同學(xué)把“x=2007”錯(cuò)抄成“x=2070”，但他計(jì)算的結(jié)果也是正確的．

（ii）（1）不正確；
（2）錯(cuò)在②步和⑤步；
（3）②方程右邊去分母后x-2與2-x互為相反數(shù)，約分后，應(yīng)為-2（x+2），⑤沒(méi)有檢驗(yàn)，
不能直接說(shuō)明是否是原方程的根；
（4）去分母，得：
（x-2）+4x=-2（x+2）
去括號(hào)，移項(xiàng)得：
x-2+4x+2x+4=0
解這個(gè)方程得x=-

2

7

，
檢驗(yàn)：把x=-

2

7

代入（x+2）（x-2）≠0
所以，原方程的解為x=-

2

7

．

（iii）證明：連接EC，
∵EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠EFC=∠EGC=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，∠ABD=∠CBD，AB=CB，
∴四邊形EFCG是矩形，
∴EC=GF，
在△ABE和△CBE中
∵AB=CB，∠ABD=∠CBD，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=FG．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了，一個(gè)分式化簡(jiǎn)后若是一個(gè)具體數(shù)值，則說(shuō)明分式的值與x的取值無(wú)關(guān)，還利用了解分式方程時(shí)，注意乘以公分母符號(hào)問(wèn)題，還有矩形的判定（有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）等知識(shí)．