Question

關(guān)于x的一元二次方程kx²+（2k+1）x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根為x₁，x₂．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根滿足：

1

x1

+

1

x2

=0？若存在，請求出實數(shù)k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)判別式的意義得到k≠0且△=（2k+1）²-4k•k＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可；
（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-

2k+1

k

，x₁•x₂=1，再利用

1

x1

+

1

x2

=0得到x₁+x₂=-

2k+1

k

=0，解得k=-

1

2

，由于k的值不在（1）中的k的取值范圍，所以可判斷不存在k的值．

解答：解：（1）根據(jù)題意得k≠0且△=（2k+1）²-4k•k＞0，
解得k＞-

1

4

且k≠0；

（2）不存在．理由如下：
根據(jù)題意得x₁+x₂=-

2k+1

k

，x₁•x₂=1，
∵

1

x1

+

1

x2

=0，
∴

x1+x2

x1x2

=0，
∴x₁+x₂=-

2k+1

k

=0，
解得k=-

1

2

，
∵k＞-

1

4

且k≠0，
∴不存在k的值滿足

1

x1

+

1

x2

=0．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判別式．