【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(﹣1,0)、B(2,0),交y軸于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)H,直線y=kx(k>0)交拋物線于點(diǎn)M、N(點(diǎn)M在N的右側(cè)),交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D.
(1)求b和c的值;
(2)如圖(1),若將拋物線y=x2+bx+c沿y軸方向向上平移個(gè)單位,求證:所得新拋物線圖象均在直線BC的上方;
(3)如圖(2),若MN∥BC.
①連接CD、BM,判斷四邊形CDMB是否為平行四邊形,說(shuō)明理由;
②以點(diǎn)D為圓心,DH長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓⊙D,點(diǎn)P、Q分別為拋物線和⊙D上的點(diǎn),試求線段PQ長(zhǎng)的最小值.
【答案】(1)b=﹣1,c=﹣2;(2)證明見(jiàn)解析;(3)①不是平行四邊形,理由見(jiàn)解析②
【解析】
試題分析:(1)把A、B兩點(diǎn)代入轉(zhuǎn)化為方程組,即可解決問(wèn)題.
(2)由消去y得到x2﹣2x+=0用判別式解決.
(3)根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,利用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題即可解決.
解:(1)由題意,
解得,
所以b=﹣1,c=﹣2.
(2)∵拋物線為y=(x+1)(x﹣2)=x2﹣x﹣2,沿y軸方向向上平移個(gè)單位,
∴新拋物線為y=x2﹣x﹣,
設(shè)直線BC為y=kx+b,由題意得,
解得,
所以直線BC為y=x﹣2,
由消去y得到x2﹣2x+=0,
∵△=4﹣5=﹣1<0,
∴方程組無(wú)解,拋物線與直線BC沒(méi)有交點(diǎn).
(3)①∵MN∥BC,
∴k=1,OM>OB,
∴MN≠BC,
∴四邊形CDMB不是平行四邊形.
②設(shè)點(diǎn)P(m,m2﹣m﹣2),
∵點(diǎn)D坐標(biāo)為(,),
∴PD2=(m﹣)2+(m2﹣m﹣)2
=(m﹣)2+[(m﹣)2﹣]2
=(m﹣)4﹣(m﹣)2+
=[(m﹣)2﹣]2+,
∴PD2的最小值=,
∴PD的最小值=,
∵DQ=,
∴線段PQ的最小值=.
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A.49(1﹣x)2=49﹣25
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C.49(1﹣x)2=25
D.49(1﹣x2)=25
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