Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，⊙O的切線PA與弦BC的延長線相交于點P，∠PBA的平分線交PA于點D，∠ABC=30°．
（1）求∠ADB的度數；
（2）若PA=2cm，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）根據切線的性質知：∠PAB=90°，再根據∠PBA的平分線交PA于點D，∠ABC的度數，可得：∠ABD的度數，從而可將∠ADB的度數求出；
（2）在Rt△APC中，根據PA的長和∠PAC的度數，可將PA的長求出，在Rt△ABP中，根據三角函數可將PB的長求出，從而可將BC的長求出．

解答：解：（1）∵PA是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，
∴∠PAB=90°，
∵BD平分∠PBA，
∴∠ABD=

1

2

∠PBA=

1

2

×30°=15°，
∴∠ADB=90°-∠ABD=75°；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠PCA=∠ACB=90°；
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠PAC=∠PAB-∠BAC=30°；
在Rt△PAC中，
∵PA=2，∠PCA=90°，
∴PC=

1

2

PA=1；
在Rt△ABP中，
∵∠ABP=30°，∠PAB=90°，
∴PB=2AP=2×2=4，
∴BC=PB-PC=3（cm）．

點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．