【題目】如圖,把△EFP按圖示方式放置在菱形ABCD中,使得頂點(diǎn)E、F、P分別在線段AB、AD、AC上,已知EP=FP=4,EF=4 , ∠BAD=60°,且AB>4

(1)求∠EPF的大小。
(2)若AP=6,求AE+AF的值。
(3)若△EFP的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運(yùn)動(dòng),請(qǐng)直接寫出AP長的最大值和最小值

【答案】
(1)

解:如圖1,

過點(diǎn)P作PG⊥EF于G,

∵PE=PF,

∴FG=EG=EF=2,∠FPG=∠EPG=∠EPF,

在△FPG中,sin∠FPG===,

∴∠FPG=60°,

∴∠EPF=2∠FPG=120°


(2)

解:如圖2,過點(diǎn)P作PM⊥AB于M,PN⊥AD于N,

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AD=AB,DC=BC,

在△ABC與△ADC中,

∴△ABC≌△ADC,

∴∠DAC=∠BAC,

∴PM=PN,

在Rt△PME于Rt△PNF中,

∴Rt△PME≌Rt△PNF,

∴FN=EM,在Rt△PMA中,∠PMA=90°,∠PAM=∠DAB=30°,∴AM=APcos30°=3,同理AN=3,

∴AE+AF=(AM﹣EM)+(AN+NF)=6;


(3)

解:如圖3,當(dāng)EF⊥AC,點(diǎn)P在EF的右側(cè)時(shí),AP有最大值,

當(dāng)EF⊥AC,點(diǎn)P在EF的左側(cè)時(shí),AP有最小值,

設(shè)AC與EF交于點(diǎn)O,

∵PE=PF,

∴OF=EF=2,

∵∠FPA=60°,

∴OP=2,

∵∠BAD=60°,

∴∠FAO=30°,

∴AO=6,

∴AP=AO+PO=8,

同理AP′=AO﹣OP=4,

∴AP的最大值是8,最小值是4.


【解析】(1)過點(diǎn)P作PG⊥EF于G,解直角三角形即可得到結(jié)論;
(2)如圖2,過點(diǎn)P作PM⊥AB于M,PN⊥AD于N,證明△ABC≌△ADC,Rt△PME≌Rt△PNF,問題即可得證;
(3)如圖3,當(dāng)EF⊥AC,點(diǎn)P在EF的右側(cè)時(shí),AP有最大值,當(dāng)EF⊥AC,點(diǎn)P在EF的左側(cè)時(shí),AP有最小值解直角三角形即可解決問題.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握若一直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn),則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn),并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題.

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(1)在這次抽樣調(diào)查中,一共抽查了 名學(xué)生
(2)請(qǐng)把圖①中的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整。
(3)求出D類的百分?jǐn)?shù),即可求出圓心角的度數(shù)。
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