閱讀并
①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1，則有x1+x2=2，x1x2=1．
②方程2x2-x-2=0的根是x1=
1+
17
4
，x2=
1-
17
4
，則有x1+x2=
1
2
，x1x2=-1．
③方程3x2+4x-7=0的根是x1=-
7
3
，x2=1，則有x1+x2=-
4
3
，x1x2=-
7
3
．
（1）根據(jù)以上①②③請(qǐng)你猜想：如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，那么x1，x2與系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并證明你的猜想；
（2）利用你的猜想結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：
已知關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0有實(shí)數(shù)根x1，x2，且x12+x22=11，求k的值．
（1）猜想為：設(shè)ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1、x2，則有x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a
．
理由：設(shè)x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，
那么由求根公式可知，x1=
-b+
b2-4ac
2a
，x2=
-b-
b2-4ac
2a
．
于是有x1+x2=
-2b
2a
=-
b
a
，x1•x2=
b2-(b2-4ac)
4a2
=
c
a
，
綜上得，設(shè)ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1、x2，則有x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a
．

（2）x1、x2是方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
∴x1+x2=-（2k+1），x1x2=k2-2，
又∵x12+x22=x12+x22+2x1x2-2x1x2=（x1+x2）2-2x1x2
∴[-（2k+1）]2-2×（k2-2）=11
整理得k2+2k-3=0，
解得k=1或-3，
又∵△=[-（2k+1）]2-4（k2-2 ）≥0，解得k≥-
9
4
，
∴k=1．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

（2013•武漢模擬）先閱讀并完成第（1）題，再利用其結(jié)論解決第（2）題．
（1）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)根為x1，x2，則有x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a
．這個(gè)結(jié)論是法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)最先發(fā)現(xiàn)并證明的，故把它稱為“韋達(dá)定理”．利用此定理，可以不解方程就得出x1+x2和 x1•x2的值，進(jìn)而求出相關(guān)的代數(shù)式的值．
請(qǐng)你證明這個(gè)定理．
（2）對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方程x2-（n+2）x-2n2=0的兩個(gè)根記作an，bn（n≥2），
請(qǐng)求出
1
(a2-2)(b2-2)
+
1
(a3-2)(b3-2)
+…+
1
(a2011-2)(b2011-2)
的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

先閱讀，再填空解題：
（1）方程：x2+x-2=0的根是：x1=
2
2
，x2=
1
1
，則x1+x2=
3
3
，x1x2=
2
2

（2）方程2x2-7x+3=0的根是：x1=
3
3
，x2=
1
2
1
2
，則x1+x2=
7
2
7
2
，x1x2=
3
2
3
2

（3）方程x2-4x-5=0的根是：x1=
5
5
，x2=
-1
-1
，則x1+x2=
4
4
，x1x2=
-5
-5

（4）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c為常數(shù)）的兩根為x1，x2，根據(jù)以上（1）（2）（3）你能否猜出：x1+x2，x1x2與系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)你的猜想并說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

先閱讀，再填空，再解答后面的相關(guān)問(wèn)題：
（1）方程x2-x-2=0的根是x1=2，x2=-1，則x1+x2=1，x1•x2=-2
（2）方程2x2-3x-5=0的根是x1=-1，x2=
5
2
，則x1+x2=
3
2
，x1•x2=-
5
2

（3）方程3x2-2x-1=0的根是x1=
-
1
3
-
1
3
，x2=
1
1
，則x1+x2=
2
3
2
3
，x1•x2=
-
1
3
-
1
3
．
根據(jù)對(duì)以上（1）、（2）、（3）的觀察、思考，你能否猜出：如果關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p為常數(shù)且n2-4mp≥0）的兩根x1、x2，那么x1+x2、x1•x2與系數(shù)m、n、p有什么關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

閱讀下列材料，并解答問(wèn)題：
在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，如果b2-4ac≥0時(shí)，那
么它的兩個(gè)根是x1=
-b+
b2-4ac
2a
，x2=
-b-
b2-4ac
2a
所以x1+x2=
(-b+
b2-4ac
)+(-b-
b2-4ac
)
2a
=
-2b
2a
=-
b
a
x1x2=
(-b+
b2-4ac
)•(-b-
b2-4ac
)
2a•2a
=
b2-(b2-4ac)
4a2
=
c
a
．
由此可見(jiàn)，一元二次方程的兩根的和、兩根的積是由一元二次方程的系數(shù)a、b、c確定的．運(yùn)用上述關(guān)系解答下列問(wèn)題：
（1）已知一元二次方程2x2-6x-1=0的兩個(gè)根分別為x1、x2，則x1+x2=
3
3
，x1x2=
-
1
2
-
1
2
，
1
x1
+
1
x2
=
-6
-6
．
（2）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2-x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且
x
2
1
+
x
2
2
=7，求a的值．

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