Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．

（1）求證：AD=BC
（2）若E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點，求證：線段EF與線段GH互相垂直平分。

Answer 1

【答案】
（1）

證明：（1）過點B作BM∥AC交DC的延長線于點M，如圖1，

∵AB∥CD

∴四邊形ABMC為平行四邊形，

∴AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，

在△ACD和△BDC中，

，

∴△ACD≌△BDC（SAS），

∴AD=BC；

（2）

解：連接EH，HF，F(xiàn)G，GE，如圖2，

∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，

∴HE∥AD，且HE=AD，F(xiàn)G∥AD，且FG=，

∴四邊形HFGE為平行四邊形，

由1知，AD=BC，

∴HE=EG，

∴HFGE為菱形，

∴EF與GH互相垂直平分．

【解析】（1）由平行四邊形的性質易得AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，由全等三角形判定定理及性質得出結論；
（2）連接EH，HF，F(xiàn)G，GE，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，易得四邊形HFGE為平行四邊形，由平行四邊形的性質及（1）結論得HFGE為菱形，易得EF與GH互相垂直平分．
此題考查了全等三角形的判定與性質，菱形的性質，垂直平分線判定等。