【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn)拋物線的對(duì)稱軸是直線軸的交點(diǎn)為點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn).

1)求拋物線的解析式;

2)點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)的值最小時(shí),請(qǐng)你求出點(diǎn)的坐標(biāo);

3)拋物線上是否存在點(diǎn),過(guò)點(diǎn)軸于點(diǎn)使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1;(2;(3)存在;

【解析】

1)由直線可得B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸求得A點(diǎn)坐標(biāo),可設(shè)拋物線的解析式為,將C點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得a,即可得拋物線的解析式;

2)根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得出的值最小時(shí),點(diǎn)BC的垂直平分線與直線的交點(diǎn),求得BC垂直平分線的解析式,聯(lián)立直線即可求得點(diǎn)

3)分四種情況進(jìn)行討論,設(shè)出N的坐標(biāo),根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì),求得N的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系,然后聯(lián)立拋物線解析式即可求解.

解:∵直線軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),

∴當(dāng)y=0時(shí),即,解得:x=4,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為,

當(dāng)x=0時(shí),,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

由二次函數(shù)的對(duì)稱性可知:點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為,

∵拋物線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn),

∴可設(shè)拋物線的解析式為,

又∵拋物線過(guò)點(diǎn)

,解得:,

∴拋物線的解析式為;

2)如圖1,連結(jié)CM、BM,作線段BC的垂直平分線分別交BC、直線于點(diǎn),則NBC中點(diǎn);

由絕對(duì)值的性質(zhì)可得:,

∴當(dāng)的值最小時(shí),即,則此時(shí),

∴點(diǎn)M與直線的交點(diǎn),此時(shí)重合,

設(shè)的解析式為:,

∵直線BC的解析式為:,

,解得:,則的解析式可化為:

得點(diǎn)N的坐標(biāo)為,

代入得:

,解得:,

代入,得,即,

∴當(dāng)的值最小時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,

3)拋物線上存在點(diǎn),使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似;

,,

,,

,

為直角三角形,,

軸,

,則,

如圖2所示,分四種情況,點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,

①當(dāng)點(diǎn)x軸的上方,要使,則,

則此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)C重合,則此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)O重合,

,滿足題意,

∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為;

②當(dāng)點(diǎn)x軸的上方,要使,則

,即,代入拋物線的解析式得:

,化簡(jiǎn)得:

解得:,(不符合題意,故舍去),

代入拋物線解析式得:,

∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為;

③當(dāng)點(diǎn)x軸的下方,要使,則,

,即,代入拋物線的解析式得:

,化簡(jiǎn)得:,

解得:,(不符合題意,故舍去),

代入拋物線解析式得:

∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為;

④當(dāng)點(diǎn)x軸的下方,要使,則

,即,代入拋物線的解析式得:

,化簡(jiǎn)得:,

解得:,(不符合題意,故舍去),

代入拋物線解析式得:,

∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上所述,拋物線存在點(diǎn)N的坐標(biāo)為使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似.

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