【題目】把一個函數(shù)圖象上每個點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡箶?shù)(原函數(shù)圖象上縱坐標(biāo)為0的點除外)橫坐標(biāo)不變,可以得到另一個函數(shù)的圖象,我們稱這個過程為倒數(shù)變換.
例如:如圖1,將y=x的圖象經(jīng)過倒數(shù)變換后可得到y=的圖象.特別地,因為y=x圖象上縱坐標(biāo)為0的點是原點,所以該點不作變換,因此y=的圖象上也沒有縱坐標(biāo)為0的點.
(1)請在圖2中畫出y=﹣x﹣1的圖象和它經(jīng)過倒數(shù)變換后的圖象;
(2)觀察上述圖象,結(jié)合學(xué)過的關(guān)于函數(shù)圖象和性質(zhì)的知識.
①猜想:倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象之間可能有怎樣的聯(lián)系?寫出兩條即可.
②說理:請簡要解釋你其中一個猜想;
(3)設(shè)圖2中的圖象的交點為A,B,若點C的坐標(biāo)為(﹣1,m),△ABC的面積為6,求m的值.
【答案】(1)見解析;(2)①猜想一:倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象之間如果存在交點,則其縱坐標(biāo)為1或﹣1;猜想二:倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象的對稱性相同,比如原函數(shù)是軸對稱圖形,則倒數(shù)變換的圖象也是軸對稱圖象;②猜想一:說理見解析;(3)m=±6.
【解析】
(1)根據(jù)描點法畫出y=﹣x﹣1的圖象,并運用函數(shù)圖象上每個點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡箶?shù)在平面直角坐標(biāo)系中畫出y=﹣x﹣1經(jīng)過倒數(shù)變換后的圖象.
(2)①猜想一:倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象之間如果存在交點,則其縱坐標(biāo)為1或﹣1;猜想二:倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象的對稱性相同,比如原函數(shù)是軸對稱圖形,則倒數(shù)變換的圖象也是軸對稱圖象.
②進(jìn)而利用只有1和﹣1的倒數(shù)是其本身,所以如果原函數(shù)存在一個點的縱坐標(biāo)為1或﹣1,分析即可.
(3)聯(lián)立兩個函數(shù)關(guān)系式求得A,B點的坐標(biāo),將點C的坐標(biāo)為(﹣1,m)代入△ABC的面積列出含m的代數(shù)表達(dá)式并使得值為6,進(jìn)而求出m.
解:(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出y=﹣x﹣1的圖象和它經(jīng)過倒數(shù)變換后的圖象如圖:
圖中去掉(﹣1,0)的點;
(2)①猜想一:倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象之間如果存在交點,則其縱坐標(biāo)為1或﹣1;
猜想二:倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象的對稱性相同,比如原函數(shù)是軸對稱圖形,則倒數(shù)變換的圖象也是軸對稱圖象;
②猜想一:因為只有1和﹣1的倒數(shù)是其本身,所以如果原函數(shù)存在一個點的縱坐標(biāo)為1或﹣1,那么倒數(shù)變換得到的圖象上必然也存在這樣對應(yīng)的縱坐標(biāo)為1或﹣1,即兩個函數(shù)圖象的交點.
(3)解得或,
∴A(﹣2,1),B(0,﹣1),
∵C(﹣1,m),
∴S△ABC=|m|×2=6,
解得|m|=6,
∴m=±6.
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【題目】如圖,已知△ABC和△ADE均為等邊三角形,D在BC上,DE與AC相交于點F,BD=3,CF=2,則△ADE的周長=________.
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【題目】某超市銷售一種文具,進(jìn)價為5元/件.售價為6元/件時,當(dāng)天的銷售量為100件.在銷售過程中發(fā)現(xiàn):售價每上漲0.5元,當(dāng)天的銷售量就減少5件.設(shè)當(dāng)天銷售單價統(tǒng)一為元/件(,且是按0.5元的倍數(shù)上漲),當(dāng)天銷售利潤為元.
(1)求與的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(2)要使當(dāng)天銷售利潤不低于240元,求當(dāng)天銷售單價所在的范圍;
(3)若每件文具的利潤不超過,要想當(dāng)天獲得利潤最大,每件文具售價為多少元?并求出最大利潤.
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【題目】已知四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD邊上的點,DE與CF交于點G.
(1)如圖①,若四邊形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求證: ;
(2)如圖②,若四邊形ABCD是平行四邊形,試探究:當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時,使得成立?并證明你的結(jié)論.
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【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)在圖中,畫出二次函數(shù)的圖象;
(3)根據(jù)圖象,直接寫出當(dāng)y≤0時,x的取值范圍.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表:
x | … | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | m | 5 | 2 | 1 | 2 | … |
則m的值是_____,當(dāng)y<5時,x的取值范圍是_____.
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【題目】如圖,邊,分別在軸、軸的正半軸上,,是上一點,,,,,分別是線段,上的兩個動點,且始終保持,若為等腰三角形,則的長為______.
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【題目】如圖,某校數(shù)學(xué)興趣小組為測量校園主教學(xué)樓AB的高度,由于教學(xué)樓底部不能直接到達(dá),故興趣小組在平地上選擇一點C,用測角器測得主教學(xué)樓頂端A的仰角為30°,再向主教學(xué)樓的方向前進(jìn)24米,到達(dá)點E處(C,E,B三點在同一直線上),又測得主教學(xué)樓頂端A的仰角為60°,已知測角器CD的高度為1.6米,請計算主教學(xué)樓AB的高度.(≈1.73,結(jié)果精確到0.1米)
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【題目】(本題8分)已知△ABC的兩邊AB、AC的長恰好是關(guān)于x的方程x2+(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根,第三邊BC的長為5
(1) 求證:AB≠AC
(2) 如果△ABC是以BC為斜邊的直角三角形,求k的值
(3) 填空:當(dāng)k=________時,△ABC是等腰三角形,△ABC的周長為________
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