Question

20、已知：如圖，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在⊙O₂上，且在⊙₁外，直線PA、PB分別交⊙O₁于C、D，問：⊙O₁的弦CD的長(zhǎng)是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)你確定CD最長(zhǎng)和最短時(shí)P的位置，如果不發(fā)生變化，請(qǐng)你給出證明．

Answer 1

分析：連接AD、AB，∠ADP在⊙O₁中所對(duì)的弦為AB，所以∠ADP為定值，∠P在⊙O₂中所對(duì)的弦為AB，所以∠P為定值．再利用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系求出∠CAD為定值，則弦CD為定值，與P的位置無關(guān)．

解答：解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD的長(zhǎng)保持不變，A、B是⊙O₁與⊙O₂的交點(diǎn)，弦AB與點(diǎn)P的位置關(guān)系無關(guān)，
連接AD，
∵∠ADP在⊙O₁中所對(duì)的弦為AB，
∴∠ADP為定值，
∵∠P在⊙O₂中所對(duì)的弦為AB，
∴∠P為定值，
∵∠CAD=∠ADP+∠P，
∴∠CAD為定值，
∵在⊙O中∠CAD對(duì)弦CD，
∴CD的長(zhǎng)與點(diǎn)P的位置無關(guān)．

點(diǎn)評(píng)：本題為動(dòng)態(tài)性題目，解答此題的關(guān)鍵是熟知圓周角與弦的關(guān)系，即在同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弦相等．