Question

閱讀下面材料，完成相應(yīng)的填空：
（1）雙循環(huán)與單循環(huán)問題：
小田是個(gè)足球迷，他發(fā)現(xiàn)有的比賽是單循環(huán)的，就是每?jī)蓚�(gè)球隊(duì)之間只賽一場(chǎng)；有的比賽是雙循環(huán)的，每?jī)蓚�(gè)球隊(duì)按主客場(chǎng)要賽兩場(chǎng)，同時(shí)小田又是個(gè)數(shù)學(xué)迷，他想探究如果有n（n≥2）個(gè)球隊(duì)進(jìn)行雙循環(huán)比賽，一共要賽多少場(chǎng)？
①小田覺得從特殊情況入手可能會(huì)找到靈感，于是他取n=2，要賽2場(chǎng)；n=3，賽6場(chǎng)；n=4，賽12場(chǎng)；那么n=5，要賽

20

場(chǎng)…，由此得出，n（n≥2）個(gè)球隊(duì)進(jìn)行雙循環(huán)比賽，一共要賽

n（n-1）

場(chǎng)．
②聰明的小田由①中的結(jié)論，很快地得出n（n≥2）個(gè)球隊(duì)單循環(huán)比賽場(chǎng)數(shù)為

n(n-1)

2

；
（2）知識(shí)遷移：①平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，且任意3個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，經(jīng)過每?jī)牲c(diǎn)畫一條直線，一共能畫

45

條不同的直線．②一個(gè)n邊形（n≥3）有

n(n-3)

2

條對(duì)角線．

Answer 1

分析：（1）①n支球隊(duì)舉行雙循環(huán)比賽，由于每一球隊(duì)都要比賽（n-1）場(chǎng)，又每?jī)蓚�(gè)球隊(duì)按主客場(chǎng)要賽兩場(chǎng)，所以n（n≥2）個(gè)球隊(duì)一共要賽 n（n-1）場(chǎng)；
②由于是單循環(huán)比賽，每?jī)蓚�(gè)球隊(duì)之間只賽一場(chǎng)，則共比賽

n(n-1)

2

；
（2）①根據(jù)第（1）題可知當(dāng)n=10時(shí)，一共可以畫（10×9）÷2=45條直線；
②從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出（n-3）條對(duì)角線，一共有

n(n-3)

2

條對(duì)角線．

解答：解：（1）①當(dāng)n=5時(shí)，每支球隊(duì)與另外4支隊(duì)伍比賽，共有4×5=20場(chǎng)比賽；
n支球隊(duì)每支球隊(duì)與其余隊(duì)伍比賽n-1場(chǎng)，共有n（n-1）；
②單循環(huán)則為

n(n-1)

2

；

（2）①當(dāng)平面上有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，可以畫

2×1

2

=

2×(2-1)

2

條直線；
當(dāng)平面上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可以畫

3×2

2

=

3×(3-1)

2

=3條直線；
…
當(dāng)平面上有n（n≥2）個(gè)點(diǎn)時(shí)，可以畫

n(n-1)

2

條直線；
因此當(dāng)n=10時(shí)，一共可以畫（10×9）÷2=45條直線．
②過n邊形（n≥3）的一個(gè)頂點(diǎn)可以作（n-3）條對(duì)角線，
這個(gè)n邊形共有

n(n-3)

2

條對(duì)角線．
故答案為：20，

n(n-1)

2

；45，

n(n-3)

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道探求規(guī)律題，考查了數(shù)字的變化類問題，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出規(guī)律，并應(yīng)用得到的規(guī)律解決實(shí)際問題．