Question

【題目】如圖，邊長為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在一個(gè)半徑為2的圓上， 頂點(diǎn)C、D在圓內(nèi)，將正方形ABCD沿圓的內(nèi)壁作無滑動(dòng)的滾動(dòng)．當(dāng)滾動(dòng)一周回到原位置時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長為__ _．

Answer 1

【答案】.

【解析】因?yàn)檎�方形的邊長為2，圓的半徑為2，正方形ABCD沿圓的內(nèi)壁作無滑動(dòng)的滾動(dòng)．當(dāng)滾動(dòng)一周回到原位置時(shí)，正方形總共轉(zhuǎn)動(dòng)了6次，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑是以AC為半徑，旋轉(zhuǎn)兩次的弧長和以正方形的邊長為半徑旋轉(zhuǎn)3次的弧長的和（還有一次點(diǎn)C在圓上，為旋轉(zhuǎn)直中心），

如圖，分別連接OA、OB、OD′、OC、OC′；

∵OA=OB=AB，

∴△OAB是等邊三角形，

∴∠OAB=60°；

同理可證：∠OAD′=60°，

∴∠D′AB=120°；

∵∠D′AB′=90°，

∴∠BAB′=120°-90°=30°，

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知∠C′AC=∠B′AB=30°；

∵四邊形ABCD為正方形，且邊長為2，

∴∠ABC=90°，AC= ，

∴當(dāng)點(diǎn)D第一次落在圓上時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路線長為：．

由上面的計(jì)算過程可知，每次的旋轉(zhuǎn)角都為30°，

所以，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑為：.