Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是、，為頂點(diǎn)．

（1）求、的值和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），，(-1，4)；（2）在y軸上存在點(diǎn)D (0，3)或D (0，1)，使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形

【解析】

(1)把A(-3，0)，B(1，0)代入解方程組即可得到結(jié)論；
(2)過C作CE⊥y軸于E，根據(jù)函數(shù)的解析式求得C(-1，4)，得到CE=1，OE=4，設(shè)，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

(1)把A(3,0)、B(1,0)分別代入，

，

解得：，，

則該拋物線的解析式為：，

∵，

所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)；

故答案為：，，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)；

(2)如圖1，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，

假設(shè)在軸上存在滿足條件的點(diǎn)，

設(shè)(0，)，則，

∵，

∴，，,，

由∠90得∠1∠290，

又∵∠2∠390，

∴∠3∠1，

又∵∠CED∠DOA90，

∴△∽△，

∴，

則，

變形得，

解得，．

綜合上述：在y軸上存在點(diǎn)(0，3)或(0，1)，使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形．