Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)（0，4）作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在Q的左側(cè)），PQ=4．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）小麗發(fā)現(xiàn)：將拋物線繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，所得新拋物線的頂點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)O，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，已知點(diǎn)A（1，0），以PA為邊作矩形PABC（點(diǎn)P、A、B、C按順時(shí)針的方向排列），．
①寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)：C（       ，       ）（坐標(biāo)用含有t的代數(shù)式表示）；
②若點(diǎn)C在題（2）中旋轉(zhuǎn)后的新拋物線上，求t的值．

Answer 1

（1）；（2，4）；（2）正確，理由見解析；（3）①-4t+2，4+t；②.

解析試題分析：（1）把P的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于x的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得和PQ=4，求得n的值，即可求得解析式.
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到Q繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后的對(duì)稱點(diǎn)為Q′（-2，4），得出新拋物線的對(duì)稱軸是y軸，然后求得拋物線的頂點(diǎn)到直線PQ的距離為4，即可判斷新拋物線頂點(diǎn)應(yīng)為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（3）①根據(jù)三角形相似即可求得C的坐標(biāo)：
如答圖，過P作x軸的垂線，交x軸于M，過C作CN⊥MN于N，
∵，∴.
∵易得△APM∽△PCN，∴.
∵AM=2-1=1，PM=4，∴PN=t，CN=4t.
∴MN=4+t.
∴C（-4t+2，4+t），

②由（1）可知，旋轉(zhuǎn)后的新拋物線是，新拋物線是過P（2，4），求得新拋物線的解析式，把C（-4t+2，4+t）代入即可求得t的值．
試題解析：解：（1）∵拋物線過點(diǎn)P，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，
∴即.
∴.
∵PQ=4，∴，即，即.
∴，解得：n=4.
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：.
由解得x=2或x=6.
∴P（2，4）．
（2）正確，理由如下：
∵P（2，4），PQ=4，∴Q繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后的對(duì)稱點(diǎn)為Q′（-2，4）.
∴P與Q′正好關(guān)于y軸對(duì)稱.
∴所得新拋物線的對(duì)稱軸是y軸，
∵拋物線，∴拋物線的頂點(diǎn)M（4，8）.
∴頂點(diǎn)M到直線PQ的距離為4.
∴所得新拋物線頂點(diǎn)到直線PQ的距離為4.
∴所得新拋物線頂點(diǎn)應(yīng)為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（3）①-4t+2，4+t.
②由（1）可知，旋轉(zhuǎn)后的新拋物線是，
∵新拋物線過P（2，4），∴4=4a，解得a=1.
∴旋轉(zhuǎn)后的新拋物線是.
∵C（-4t+2，4+t）在拋物線上，
∴，解得：t=0（舍去）或t=.
∴t=.
考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.線動(dòng)旋轉(zhuǎn)問題；3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；5.二次函數(shù)的性質(zhì)；6. 旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的性質(zhì)；7.方程思想的應(yīng)用.