Question

如圖（1），已知，矩形ABCD的邊AD=3，對(duì)角線長(zhǎng)為5，將矩形ABCD置于直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，且反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)分支位于第一象限．
①求圖（1）中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是多少？
②若矩形ABCD從圖（1）的位置開(kāi)始沿x軸的正方向移動(dòng)，每秒移動(dòng)1個(gè)單位，1秒后點(diǎn)A剛好落在反比例函數(shù)的圖象上，如圖（2），求反比例函數(shù)的表達(dá)式．
③矩形ABCD繼續(xù)向x軸的正方向移動(dòng)，AB、AD與反比例函數(shù)圖象分別交于P、Q兩點(diǎn)，如圖（3），設(shè)移動(dòng)總時(shí)間為t（1＜t＜5），分別寫(xiě)出△PBC的面積S₁、△QDC的面積S₂與t的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)t為何值時(shí)，S₂=

10

7

S₁？

Answer 1

分析：①連接OA，根據(jù)勾股定理求出OD，故可得出答案；
②求出A的坐標(biāo)，把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，求出k即可；
③求出BP，根據(jù)三角形的面積公式求出S₁即可；求出t秒后A的坐標(biāo)，得出Q的橫坐標(biāo)，代入解析式求出Q的縱坐標(biāo)，求出CQ，根據(jù)三角形的面積公式求出S₂，把S₁、S₂代入得出關(guān)于t的方程，求出t的值即可．

解答：解：①連接OA，
∵OA=5，AD=3，
由勾股定理得：OD=

OA2-AD2

=

52-32

=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，3）．

②∵4+1=5，
∴1秒后點(diǎn)A的坐標(biāo)是（5，3），
代入y=

k

x

得：3=

k

5

，
∴k=15，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

15

x

；

③∵A在雙曲線上時(shí)t=1，
∴AP=t-1，
BP=BA-AP=4-（t-1）=5-t，
∴S₁=

1

2

BP×BC=

1

2

×（5-t）×3=-

3

2

t+

15

2

，
t秒后A的坐標(biāo)是（4+t，3），
把x=4+t代入y=

15

x

得：y=

15

4+t

，
∴Q的坐標(biāo)是（4+t，

15

4+t

），
∴S₂=

1

2

×DC×DQ=

1

2

×4×

15

4+t

=

30

4+t

，
即S₁=-

3

2

t+

15

2

，S₂=

30

4+t

，
∵S₂=

10

7

S₁，
∴

30

4+t

=

10

7

×（-

3

2

t+

15

2

），解得：t=3，t=-2（舍去），
∴當(dāng)t=3時(shí)，S₂=

10

7

S₁．

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)綜合題，涉及到點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形的面積，矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，熟練的運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，主要考查了學(xué)生的計(jì)算能力和運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目較好，難度適中．