【題目】1)如圖1,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B60°,ADCE分別是∠BAC,∠BCA的平分線,AD,CE相交于點F,

①請你猜想寫出FEFD之間的數(shù)量關系,不用說明理由;

②判斷∠AFC與∠B的數(shù)量關系,請說明理由.

2)如圖2,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中其他條件不變,請問你在(1)中所得FEFD之間的數(shù)量關系是否依然成立?請說明理由.

【答案】1)①FE=FD;②∠AFC=2B;(2FE=FD仍然成立,理由見解析.

【解析】

1)①首先過點FFMBCM.作FNABN,連接BF,根據(jù)角平分線的性質,可得FM=FN,又由在RtABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,求得∠NEF=75°=MDF,又由∠DMF=ENF=90°,利用AAS,即可證得DMF≌△ENF,由全等三角形的對應邊相等,即可證得FE=FD;②由①知∠BCE=45°,∠CDF=75°,利用三角形的外角等于與它不相鄰兩個內角的和,可求出.2)過點FFMBCM.作FNABN,連接BF,根據(jù)角平分線的性質,可得FN=FM,由∠ABC=60°,即可求得∠MFN=120°,∠EFD=AFC=120°,繼而求得∠DFM=NFE,利用ASA,即可證得DMF≌△ENF,由全等三角形的對應邊相等,即可證得FE=FD

1)①如圖1,過點FFMBCM.作FNABN,連接BF

F是角平分線交點,

BF也是角平分線,

MF=FN,∠DMF=ENF=90°,

∵在RtABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,

∴∠BAC=30°,

∴∠DAC= BAC=15°,

∴∠CDA=75°,

∵∠MFC=45°,∠MFN=120°,

∴∠NFE=15°,

∴∠NEF=75°=MDF,

DMFENF中,

DMF=∠ENF,∠MDF=∠NEF,MF=NF

∴△DMF≌△ENF(AAS),

FE=FD;

②由①知∠BCE=45°,∠CDF=75°,所以∠AFC=120°,因為∠B=60°,所以∠AFC=2B.

2)如圖2,過點FFMBCM.作FNABN,連接BF,

F是角平分線交點,

BF也是角平分線,

MF=FN,∠DMF=ENF=90°,

∴四邊形BNFM是圓內接四邊形,

∵∠ABC=60°

∴∠MFN=180°-ABC=120°,

∵∠CFA=180°-(FAC+FCA)=180°- (ABC+ACB)=180°- (180°-ABC)=180°- (180°-60°)=120°,

∴∠DFE=CFA=MFN=120°

又∵∠MFN=MFD+DFN,∠DFE=DFN+NFE

∴∠DFM=NFE

DMFENF中,

∴△DMF≌△ENF(ASA),

FE=FD

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