如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),O為原點(diǎn),拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6,0),且頂點(diǎn)B(m,6)在直線y=2x上.
(1)求m的值和拋物線y=ax2+bx的解析式;
(2)如在線段OB上有一點(diǎn)C,滿足OC=2CB,在x軸上有一點(diǎn)D(10,0),連接DC,且直線DC與y軸交于點(diǎn)E.
①求直線DC的解析式;
②如點(diǎn)M是直線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在x軸上方的平面內(nèi)有另一點(diǎn)N,且以O(shè)、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo).(直接寫出結(jié)果,不需要過(guò)程.)
精英家教網(wǎng)
分析:(1)先根據(jù)拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)B(m,6)在直線y=2x上可求出m的值,再用待定系數(shù)發(fā)即可求出此拋物線的解析式;
(2)①作CH⊥OA,BG⊥OA,再根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出CH的長(zhǎng),進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)D點(diǎn)坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可求出直線DC解析式;
②根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求出符合條件的N點(diǎn)坐標(biāo).
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵頂點(diǎn)B(m,6)在直線y=2x,
∴m=3,(1分)
∴B(3,6),把AB兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式得,
36a+6b=0
9a+3b=6
,解得
a=-
2
3
b=4
,
∴拋物線:y=-
2
3
x2+4x;(3分)

(2)①如圖1,作CH⊥OA,BG⊥OA,
∴CH∥BG,
CH
BG
=
OC
OB
,精英家教網(wǎng)
∵OC=2CB,
CH
6
=
2
3
,CH=4,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)(2分)
∵D(10,0)根據(jù)題意
2k+b=4
10k+b=0
,解得:
k=-
1
2
b=5

∴直線DC解析式y(tǒng)=-
1
2
x+5;(2分)

②如圖2:∵四邊形ENOM是菱形,
∴OS=ES=
1
2
OE=
5
2
,
∴NK=
5
2
,精英家教網(wǎng)
∵ON∥DE,
∴tan∠NOK=tan∠EDO=
EO
OD
=
MK
OK
=
1
2
,
∴OK=5,
∴N1(-5,
5
2
),
如圖3:∵EM⊥OB,
∴ON=2OC,
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4),
∴N2(4,8);
③如圖4:
∵直線DC解析式y(tǒng)=-
1
2
x+5,精英家教網(wǎng)
∴E(0,5),
設(shè)M(x,-
1
2
x+5),
∵四邊形ENOM是菱形,
∴EM=OE=5,即x2+(-
1
2
x)2=25,解得x=2
5
,
∴M(-2
5
,5+
5
),
∴可設(shè)N(-2
5
,y),則|5+
5
-y|=5,解得y=
5
或y=10+
5
(舍去)
∴N3(-2
5
5
).
點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)平面xOy中,拋物線C1的頂點(diǎn)為A(-1,-4),且過(guò)點(diǎn)B(-3,0)
(1)寫出拋物線C1與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)將拋物線C1向右平移2個(gè)單位得拋物線C2,求拋物線C2的解析式;
(3)寫出陰影部分的面積S.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)平面中,Rt△ABC的斜邊AB在x軸上,直角頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上,cos∠ABC=
45
,點(diǎn)P在線段OC上,且PO、OC的長(zhǎng)是方程x2-15x+36=0的兩根.
(1)求P點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求AP的長(zhǎng);
(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使以A、Q、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是梯形?若存在,請(qǐng)求出直線PQ的解析式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),函數(shù)y=
m
x
(x>0,m是常熟)的圖象經(jīng)過(guò)A(1,4),B(a,b),其中a>1,過(guò)點(diǎn)A作x軸垂線,垂足為C,過(guò)點(diǎn)B作y軸垂線,垂足為D,連接AD,DC,CB
(Ⅰ)求函數(shù)y=
m
x
的解析式;
(Ⅱ)若△ABD的面積為4,求點(diǎn)B的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

完成下列各題:
(1)解方程組
2x+y=2;         ①
3x-2y=10.      ②

(2)如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),點(diǎn)B在第一象限內(nèi),BO=5,sin∠BOA=
3
5
.求cos∠BAO的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的△ABC中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,5),要使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,且點(diǎn)D坐標(biāo)在第一象限,那么點(diǎn)D的坐標(biāo)是
(2,5)或(8,5)
(2,5)或(8,5)

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