Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC邊的中點(diǎn)， F是CD邊上的一點(diǎn)， 且DF=1．若M、N分別是線段AD、AE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN+MF的最小值為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作點(diǎn)F關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GN⊥AE于點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)M，可證得MG=MF，△MDG≌△MDF，DF=DG=1 ，可推出MN+MF=NG，根據(jù)垂線段最短，可知此時(shí)MN+MF的最小值就是NG的長(zhǎng)；利用正方形的性質(zhì)，可求出BE的長(zhǎng)，同時(shí)可以推出∠B=∠ANM=∠FDM，∠AMN=∠BAE=∠FMD，再利用有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似，可證得△ABE∽△MNA∽△FMD，然后利用相似三角形的性質(zhì)及勾股定理就可求出MN，MG的長(zhǎng)，由此看求出NG的長(zhǎng)．

作點(diǎn)F關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GN⊥AE于點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)M，

∴MG=MF，△MDG≌△MDF，DF=DG=1

∴∠GMD=∠DMF

∴MN+MF=MN+MG=NG

根據(jù)垂線段最短，可知此時(shí)MN+MF的最小值就是NG的長(zhǎng)．

∵正方形BCD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

∴BE=BC=AB=2

∴∠B=∠ANM=∠FDM=90°，∠BAE+∠MAN=90°，

∵∠AMN+∠MAN=90°，

∴∠AMN=∠BAE，

∵∠AMN=∠DMG

∴∠AMN=∠BAE=∠FMD

∴△ABE∽△MNA∽△FMD

∴即

解之：MD=2，

∴AM=AD-MD=4-2=2

∴

設(shè)AN=x，則MN=2x

∴AN2+MN2=AM2，

∴x2+4x2=4

解之：AN=x=

∴MN=2AN=；

在Rt△MDG中，MG=

∴NG=MN+MG=．

故答案為：．