Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A₁B₁C₁的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），（2，5），若△ABC與△A₁B₁C₁位似，則△A₁B₁C₁的第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先由題意可求得直線AC、AB、BC的解析式與過(guò)點(diǎn)（1，3），（2，5）的直線的解析式，即可知過(guò)這兩點(diǎn)的直線與直線AC平行，則可分別從①若A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A₁（1，3），C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C₁（2，5）與②若C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A₁（1，3），A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C₁（2，5）去分析求解，即可求得答案．
解答：解：設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
∵△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（4，0），（8，2），（6，4），
∴，
解得：，
∴直線AC的解析式為：y=2x-8，
同理可得：直線AB的解析式為：y=x-2，直線BC的解析式為：y=-x+10，
∵△A₁B₁C₁的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），（2，5），
∴過(guò)這兩點(diǎn)的直線為：y=2x+1，
∴過(guò)這兩點(diǎn)的直線與直線AC平行，
①若A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A₁（1，3），C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C₁（2，5），
則B₁C₁∥BC，B₁A₁∥BA，
設(shè)直線B₁C₁的解析式為y=-x+a，直線B₁A₁的解析式為y=x+b，
∴-2+a=5，+b=3，
解得：a=7，b=，
∴直線B₁C₁的解析式為y=-x+7，直線B₁A₁的解析式為y=x+，
則直線B₁C₁與直線B₁A₁的交點(diǎn)為：（3，4）；
②若C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A₁（1，3），A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C₁（2，5），
則B₁A₁∥BC，B₁C₁∥BA，
設(shè)直線B₁C₁的解析式為y=x+c，直線B₁A₁的解析式為y=-x+d，
∴×2+c=5，-1+d=3，
解得：c=4，d=4，
∴直線B₁C₁的解析式為y=x+4，直線B₁A₁的解析式為y=-x+4，
則直線B₁C₁與直線B₁A₁的交點(diǎn)為：（0，4）．
∴△A₁B₁C₁的第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4）或（0，4）．
故答案為：（3，4）或（0，4）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了位似圖形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握位似圖形的對(duì)應(yīng)線段互相平行，注意掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的知識(shí)，注意分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．