Question

如圖，拋物線的頂點坐標是A（1，4），且經過點B（-

3

2

，-

9

4

），與橫軸交于C，D兩點（點C在點D的左邊）
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AD，判斷AD與BD的位置關系，并說明理由；
（3）設點P是直線BD上方且位于拋物線上的一動點，過點P作PQ∥AD交直線BD于點Q，求PQ的最大值．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設拋物線解析式為y=a（x-1）²+4，將點B的坐標代入可得a的值，繼而可確定拋物線的解析式；
（2）分別求出AB、BD、AD的長度，利用勾股定理的逆定理可判斷AD⊥BD；
（3）過點A作AE∥y軸，交BD于點E，作PF∥y軸，交BD于點F，先求出cos∠EAD，設點P的坐標為（x，-x²+2x+3），表示出PF，繼而在Rt△PQF中，可表示出PQ，利用配方法求解最值即可．

解答：解：（1）設拋物線解析式為y=a（x-1）²+4，
將點B的坐標代入可得：-

9

4

=a（-

3

2

-1）²+4，
解得：a=-1，
故拋物線解析式為：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴C的坐標為（-1，0），D的坐標為（3，0），
則AD=

(1-3)2+(4-0)2

=2

5

，BD=

(- 3 2 -3)2+(- 9 4 -0)2

=

9 5

4

，AB=

(- 3 2 -1)2+(- 9 4 -4)2

=

5 29

4

，
∵AD²+BD²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BD；

（3）設直線BD的解析式為y=kx+b，
將B、D的坐標代入可得：

- 3 2 k+b=- 9 4 3k+b=0

，
解得：

k= 1 2 b=- 3 2

，
則直線BD的解析式為y=

1

2

x-

3

2

，
過點A作AE∥y軸，交BD于點E，作PF∥y軸，交BD于點F，

則點E的坐標為（1，-1），AE=5，cos∠EAD=

AD

AE

=

2 5

5

，
設點P的坐標為（x，-x²+2x+3），則點F的坐標為（x，

1

2

x-

3

2

），PF=-x²+2x+3-（

1

2

x-

3

2

）=-x²+

3

2

x+

9

2

，
在Rt△PFQ中，PQ=PFcos∠FPQ=PFcos∠EAD
=

2 5

5

（-x²+

3

2

x+

9

2

）
=-

5

5

（2x²-3x-9）
=-

5

5

（2x²-3x）+

9 5

5

=-

2 5

5

（x-

3

4

）²+

81 5

40

，
當x=

3

4

時，PQ取得最大，最大值為

81 5

40

．

點評：本題考查了二次函數的綜合，涉及了待定系數法求拋物線解析式、勾股定理的逆定理及配方法求二次函數的最值，綜合考察的知識點較多，解答本題注意數形結合思想的運算．