Question

已知拋物線的頂點(diǎn)是（，為常數(shù)），并經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)為一定點(diǎn)．

1.求含有常數(shù)的拋物線的解析式；

2.設(shè)點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)P作PH⊥軸，垂足是H，求證：PD＝PH；

3.設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的直線與拋物線在第一象限相交A、B兩點(diǎn)，若DA＝2DB，且，求的值

 

Answer 1

【答案】

 

1.設(shè)拋物線的解析式為y=kx²+a，…………………1分

∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2a，2a），

4a²k+a=2a，∴k=，y=x²+a…………………………………3分

2.設(shè)拋物線上一點(diǎn)P（x，y），過(guò)P作PH⊥x軸，PG⊥y軸，在Rt△GDP中，

由勾股定理得：PD²=DG²+PG²=（y-2a）²+x²=y²-4ay+4a²+x²，…………………………………5分

∵y=14ax²+a，∴x²=4a×（y-a）=4ay-4a²，…………………………………6分

∴PD²=y²-4ay+4a²+4ay-4a²=y²=PH²，∴PD=PH，…………………………………8分

3.過(guò)B作BE⊥x軸，AF⊥x軸，

由（2）的結(jié)論：BE=DB，AF=DA，

∵DA=2DB，∴AF=2BE，∴AO=2OB，

∴B是OA的中點(diǎn)，

∵C是OD的中點(diǎn)，

連接BC，∴BC=AD2=AF2=BE=DB，…………………………………9分

過(guò)B作BR⊥y軸，

∵BR⊥CD，∴CR=DR，OR=a+ ，

∴，∴x²=2a²，

∵x＞0，∴x=a，

∴B（a ，）…………………………………11分

AO=2OB，∴S_△OBD=S_△ABD=4，

∴×2a×a=4，

∴a²=4，∵a＞0，∴a=2，…………………………………13分

【解析】（1）把點(diǎn)（2a，2a）代入拋物線函數(shù)中得出拋物線的解析式；

（2）利用勾股定理求出PD和PH的值相等；

（3）根據(jù)中位線算出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求出的值