Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣5與坐標(biāo)軸交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）連接BC與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B、C兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

①是否存在點(diǎn)P，使四邊形PEDF為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

②過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，求△PFH周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x﹣5，頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（2，﹣9）；（2）①存在點(diǎn)P（3，﹣2）使四邊形PEDF為平行四邊形；②△PFH周長(zhǎng)的最大值為.

【解析】（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得；

（2）①求出直線BC解析式，表示PF，當(dāng)PF=DE時(shí)，平行四邊形存在．

②利用△PFH∽△BCO，應(yīng)用相似三角形性質(zhì)表示△PFH周長(zhǎng)，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)討論最值即可．

（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入拋物線y=ax2+bx﹣5，得

，解得：，

∴y=x2﹣4x﹣5=（x-2）2-9，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（2，﹣9）；

（2）①存在，

設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），

把B（5，0），C（0，﹣5）代入得，解得：，

∴BC解析式為y=x﹣5，

當(dāng)x=m時(shí)，y=m﹣5，

∴P（m，m﹣5），

當(dāng)x=2時(shí)，y=2﹣5=﹣3，

∴E（2．﹣3），

∵PF∥DE∥y軸，

∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m，

當(dāng)x=m時(shí)，y=m2﹣4m﹣5，

∴F（m，m2﹣4m﹣5），

∴PF=（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）=﹣m2+5m，

∵E（2，﹣3），D（2，﹣9），

∴DE=﹣3﹣（﹣9）=6，

如圖，連接DF，

∵PF∥DE，

∴當(dāng)PF=DE時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形，

即﹣m2+5m=6，

解得m1=3，m2=2（舍去），

當(dāng)m=3時(shí)，y=3﹣5=2，

此時(shí)P（3，﹣2），

∴存在點(diǎn)P（3，﹣2）使四邊形PEDF為平行四邊形；

②由題意，在Rt△BOC中，OB=OC=5，

∴BC=5，

∴C△BOC =10+5，

∵PF∥DE∥y軸，

∴∠FPE=∠DEC=∠OCB，

∵FH⊥BC，

∴∠FHP=∠BOC=90°，

∴△PFH∽△BCO，

∴，

即C△PFH=，

∵0＜m＜5，

∴當(dāng)m=﹣時(shí)，△PFH周長(zhǎng)的最大值為.