Question

【題目】有這樣一個(gè)問(wèn)題：探究函數(shù)y＝x+|x﹣2|的圖象與性質(zhì)

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y＝x+|x﹣2|的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究

下面是小明的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完成：

（1）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，當(dāng)x≥2時(shí)，y＝　 　；當(dāng)x＜2時(shí)，y＝　 　；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，請(qǐng)?jiān)趫D1的坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y＝x+|x﹣2|的圖象；

（3）結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：　 　；

（4）結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象，利用圖2解決問(wèn)題，若關(guān)于x的方程ax+1＝x+|x﹣2|有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，直接寫出實(shí)數(shù)a的取值范圍：　 　．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x﹣2； y＝2；（2）詳見(jiàn)解析；（3）當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；（4）0.5＜a＜2．

【解析】

（1）根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以分別寫出x≥2和x＜2時(shí)的函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，可以在圖1的坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y＝x+|x﹣2|的圖象；

（3）根據(jù)（1）中的函數(shù)圖象，可以寫出函數(shù)y＝x+|x﹣2|的一條性質(zhì)，本題答案不唯一，只要符合題意即可；

（4）根據(jù)一次函數(shù)與方程的關(guān)系，可以得到關(guān)于x的方程ax+1＝x+|x﹣2|有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，a的取值范圍．

（1）當(dāng)x≥2時(shí)，y＝x+|x﹣2|＝x+x﹣2＝2x﹣2，

當(dāng)x＜2時(shí)，y＝x+|x﹣2|＝x+2﹣x＝2，

故答案為：2x﹣2，2；

（2）當(dāng)x≥2時(shí)，y＝2x﹣2過(guò)點(diǎn)（2，2），（3，4），

函數(shù)y＝x+|x﹣2|的圖象如圖1所示；

（3）由圖象可知，

當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，

故答案為：當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；

（4）∵y＝ax+1的函數(shù)圖象一定過(guò)點(diǎn)（0，1）

∴當(dāng)y＝ax+1中的a＝2時(shí)，直線y＝ax+1與直線y＝x+|x﹣2|有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)a≥2或a＜0時(shí)，y＝ax+1與y＝x+|x﹣2|有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)直線y＝ax+1過(guò)點(diǎn)（2，2）時(shí)，2＝2a+1，得a＝0.5，故當(dāng)0≤a＜0.5時(shí)，y＝ax+1與y＝x+|x﹣2|沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)a＝0.5時(shí)，y＝ax+1與y＝x+|x﹣2|有一個(gè)交點(diǎn)，

由上可得，關(guān)于x的方程ax+1＝x+|x﹣2|有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：0.5＜a＜2，

故答案為：0.5＜a＜2．