【題目】邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與A、C不重合),連接BP,將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BQ,連接QP,QP與BC交于點(diǎn)E,QP延長(zhǎng)線與AD(或AD延長(zhǎng)線)交于點(diǎn)F.
(1)連接CQ,證明:CQ=AP;
(2)設(shè)AP=x,CE=y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)x為何值時(shí),CE=BC;
(3)猜想PF與EQ的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)證明見解析;(2)當(dāng)x=3或1時(shí),CE=BC; (3). 結(jié)論:PF=EQ,理由見解析.
【解析】
試題分析:(1)證出∠ABP=∠CBQ,由SAS證明△BAP≌△BCQ可得結(jié)論;(2)如圖1證明△APB∽△CEP,列比例式可得y與x的關(guān)系式,根據(jù)CE=BC計(jì)算CE的長(zhǎng),即y的長(zhǎng),代入關(guān)系式解方程可得x的值;(3)如圖3,作輔助線,構(gòu)建全等三角形,證明△PGB≌△QEB,得EQ=PG,由F、A、G、P四點(diǎn)共圓,
得∠FGP=∠FAP=45°,所以△FPG是等腰直角三角形,可得結(jié)論.如圖4,當(dāng)F在AD的延長(zhǎng)線上時(shí),同理可得結(jié)論.
試題解析:
(1)證明:如圖1,∵線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BQ,
∴BP=BQ,∠PBQ=90°.∵四邊形ABCD是正方形,
∴BA=BC,∠ABC=90°. ∴∠ABC=∠PBQ.
∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC,即∠ABP=∠CBQ.
在△BAP和△BCQ中,
∵,
∴△BAP≌△BCQ(SAS).
∴CQ=AP;
(2)解:如圖1,∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠BAD=45°,∠BCA=∠BCD=45°,
∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°,
∵DC=AD=2,
由勾股定理得:AC=,
∵AP=x,∴PC=4﹣x,
∵△PBQ是等腰直角三角形,∴∠BPQ=45°,
∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°,∴∠CPQ=∠ABP,
∵∠BAC=∠ACB=45°,∴△APB∽△CEP,∴ ,
∴,∴y=x(4﹣x)=﹣(0<x<4),
由CE=BC=,∴y=﹣,
x2﹣4x=3=0,(x﹣3)(x﹣1)=0,x=3或1,
∴當(dāng)x=3或1時(shí),CE=BC;
(3)解:結(jié)論:PF=EQ,理由是:
如圖3,當(dāng)F在邊AD上時(shí),過P作PG⊥FQ,交AB于G,則∠GPF=90°,
∵∠BPQ=45°,∴∠GPB=45°,∴∠GPB=∠PQB=45°,
∵PB=BQ,∠ABP=∠CBQ,∴△PGB≌△QEB,∴EQ=PG,
∵∠BAD=90°,∴F、A、G、P四點(diǎn)共圓,
連接FG,∴∠FGP=∠FAP=45°,
∴△FPG是等腰直角三角形,∴PF=PG,∴PF=EQ.
當(dāng)F在AD的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖4,同理可得:PF=PG=EQ.
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(1)求證:四邊形ACBP是菱形;
(2)若⊙O半徑為1,求菱形ACBP的面積.
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問題1:?jiǎn)蝺r(jià)
該公司早期在甲街區(qū)進(jìn)行了試點(diǎn)投放,共投放A、B兩型自行車各50輛,投放成本共計(jì)7500元,其中B型車的成本單價(jià)比A型車高10元,A、B兩型自行車的單價(jià)各是多少?
問題2:投放方式
該公司決定采取如下投放方式:甲街區(qū)每1000人投放a輛“小黃車”,乙街區(qū)每1000人投放 輛“小黃車”,按照這種投放方式,甲街區(qū)共投放1500輛,乙街區(qū)共投放1200輛,如果兩個(gè)街區(qū)共有15萬(wàn)人,試求a的值.
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【題目】下列圖形:①角;②直角三角形;③等邊三角形;④線段;⑤等腰三角形;⑥平行四邊形.其中一定是軸對(duì)稱圖形的有_________個(gè).
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