【題目】如圖,在△ABC中,BA=BC,以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E,BC的延長線于⊙O的切線AF交于點F.

(1)求證:∠ABC=2∠CAF;

(2)若AC=2,CE:EB=1:4,求CE的長.

【答案】(1)見解析;

(2)CE=2.

析】

試題分析:(1)首先連接BD,由AB為直徑,可得∠ADB=90°,又由AF是⊙O的切線,易證得∠CAF=∠ABD.然后由BA=BC,證得:∠ABC=2∠CAF;

(2)首先連接AE,設(shè)CE=x,由勾股定理可得方程:(22=x2+(3x)2求得答案.

試題解析:(1)證明:如圖,連接BD.∵AB為⊙O的直徑,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠ABD=90°.∵AF是⊙O的切線,∴∠FAB=90°,即∠DAB+∠CAF=90°.∴∠CAF=∠ABD.∵BA=BC,∠ADB=90°,

∴∠ABC=2∠ABD.∴∠ABC=2∠CAF.

(2)如圖,連接AE,∴∠AEB=90°,設(shè)CE=x,∵CE:EB=1:4,

∴EB=4x,BA=BC=5x,AE=3x,在Rt△ACE中,AC2=CE2+AE2

即(22=x2+(3x)2,∴x=2.∴CE=2.

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