Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F ， 且AF＝BD ， 連接BF ．

（1）求證：BD＝CD；
（2）如果AB＝AC ， 試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）

解答：證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中點，∴AE＝DE， ，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，∵AF＝BD，∴BD＝CD．

（2）

解答：四邊形AFBD是矩形

理由：∵AB＝AC，D是BC的中點

∴AD⊥BC

∴∠ADB＝90°，

∵AF＝BD，

又∵過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，即AF∥BC

∴四邊形AFBD是平行四邊形，∴四邊形AFBD是矩形．

【解析】（1）先由AF∥BC ， 利用平行線的性質(zhì)可證∠AFE＝∠DCE ， 而E是AD中點，那么AE＝DE ， ∠AEF＝∠DEC ， 利用AAS可證△AEF≌△DEC ， 那么有AF＝DC ， 又AF＝BD ， 從而有BD＝CD；（2）四邊形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD ， 易得四邊形AFBD是平行四邊形，又AB＝AC ， BD＝CD ， 利用等腰三角形三線合一定理，可知AD⊥BC ， 即∠ADB＝90°，那么可證四邊形AFBD是矩形．
【考點精析】利用等腰三角形的性質(zhì)和矩形的判定方法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形．