【題目】在中,,將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是,連接線段與線段交于點(diǎn)M,連接.
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖1,求證:OM平分;
(3)如圖2,若,求的長.
【答案】(1)見詳解;(2)見詳解;(3)
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及OA=OB可得OA=OC=OB=OD,∠AOC=∠BOD,然后根據(jù)“SAS”證明△AOC≌△BOD即可得證;
(2)過點(diǎn)O作OE⊥AC,OF⊥BD,利用等積法可得OE=OF,再根據(jù)“HL”可證得Rt△MOE≌Rt△MOF即可得證;
(3)過點(diǎn)M作MH⊥AO,由可得∠OAC=∠ODB=45°,進(jìn)而可證得△AOM≌△DOM,則∠MOD=∠MOA,利用及 可得∠MOA=60°,設(shè)OH=x,利用30°、45°的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可表示出MO、MH、AH、AM的長,根據(jù)列出方程求解,進(jìn)而可求得CM的長.
(1)證明:∵旋轉(zhuǎn),
∴OA=OC,OB=OD,∠AOC=∠BOD,
∵OA=OB,
∴OA=OC=OB=OD,
在△AOC與△BOD中,
∴△AOC≌△BOD(SAS),
∴AC=BD;
(2)證明:過點(diǎn)O作OE⊥AC,OF⊥BD,垂足分別為E、F,
∵△AOC≌△BOD,
∴S△AOC=S△BOD,
∵OE⊥AC,OF⊥BD,
∴,
∵AC=BD,
∴OE=OF,
∵OE⊥AC,OF⊥BD,
∴∠MEO=∠MFO=90°,
在Rt△MOE與Rt△MOF中,
∴Rt△MOE≌Rt△MOF(HL),
∴∠OME=∠OMF,
∴OM平分;
(3)解:過點(diǎn)M作MH⊥AO,垂足為點(diǎn)H,
∵,OA=OC,OB=OD,
∴∠OAC=∠ODB=45°,
在△AOM與△DOM中,
∴△AOM與△DOM(AAS),
∴∠AOM =∠DOM,
∵∠BOD=,∠AOB=30°,
∴∠AOM =∠DOM=60°,
∵MH⊥AO,
∴∠MHO=∠MHA=90°,
∴在Rt△MHO中,∠OMH=30°,
設(shè)OH=x,則MO=2OH=2x,
∴,
∴在Rt△MHA中,∠HAM=45°,
∴AH=MH=,
∴,
∵,
∴
解得:x=2,
∴,
在Rt△AOC中,,
∴,
∴CM的長為.
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(1)求m的取值范圍;
(2)如果該二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)分別為(x1,0),(x2,0),且2 x1 x2+ x1+ x2≥20,求m的取值范圍.
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【題目】已知⊙O的直徑為10,點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)C在⊙O上,∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D.
(1)如圖①,若BC為⊙O的直徑,AB=6,求AC,BD,CD的長;
(2)如圖②,若∠CAB=60°,求BD的長.
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【題目】已知A(﹣4,2)、B(n,﹣4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象的兩個(gè)交點(diǎn);
(1)求此反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍;
(3)求△AOB的面積.
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【題目】已知:如圖,、都是等邊三角形,、相交于點(diǎn),點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求的度數(shù);
(3)試判斷的形狀,并說明理由.
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