Question

【題目】綜合與探究

如圖1，拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)是拋物線(xiàn)上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若的面積與的面積相等，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn).連接，將沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度（），將平移過(guò)程中與重疊部分的面積記為，求與的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2），，；（3）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；

（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而可得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為3或-3，分別代入函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可 ；

（3）如圖2-2，將沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的三角形記作△PQM， PM與BC交于點(diǎn)E，QM與BC交于點(diǎn)F，連接CD，先求出直線(xiàn)BC的解析式，由已知可得，繼而得出，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，點(diǎn)D的坐標(biāo)，表示出EP、EM的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得到，再證明，繼而利用相似三角形的性質(zhì)以及比例的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，表示出，再由進(jìn)行求解即可．

（1）∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，

∴，

∴，

∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為；

（2）將代入，得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴，

設(shè)點(diǎn)，

∵，

∴，

∴，

當(dāng)時(shí)，，

解得，．

當(dāng)時(shí)，，

解得，（舍去），

∴，，；

（3）如圖2-2，將沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的三角形記作△PQM， PM與BC交于點(diǎn)E，QM與BC交于點(diǎn)F，連接CD，

由已知得，，，

設(shè)直線(xiàn)的表達(dá)式為，

∵直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，

∴，解得，

∴直線(xiàn)的表達(dá)式為，

當(dāng)時(shí)，由已知得，

∴，

當(dāng)x=2-m時(shí)，，

∴，

當(dāng)時(shí)，=-3，

∴點(diǎn)，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-3，

∴直線(xiàn)軸，

∵，，

∴，

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

∵，

∴，

∴，即，

∵CD//OB，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

設(shè)，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴

．