Question

（1）如圖1，是某市公園周圍街巷的示意圖，A點(diǎn)表示1街與2巷的十字路口，B點(diǎn)表示3街與5巷的十字路口，如果用（1，2）→（2，2）→（3，2）→（3，3）→（3，4）→（3，5）表示由A點(diǎn)到B點(diǎn)的一條路徑，那么，你能同樣的方法寫出由A點(diǎn)到B點(diǎn)盡可能近的其他兩條路徑嗎？

（2）從正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形、正十邊形、正十二邊形中任選兩種正多邊形鑲嵌，請(qǐng)全部寫出這兩種正多邊形．并從其中任選一種探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說明你的理由．
（3）如圖2所示，已知AB∥CD，分別探索下列四個(gè)圖形中∠P（均為小于平角的角）與∠A，∠C的關(guān)系，請(qǐng)你從所得的四個(gè)關(guān)系中任選一個(gè)加以說明．
（4）閱讀材料：多邊形上或內(nèi)部的一點(diǎn)與多邊形各頂點(diǎn)的連線，將多邊形分割成若干個(gè)小三角形．如圖3給出了四邊形的具體分割方法，分別將四邊形分割成了2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)小三角形．
請(qǐng)你按照上述方法將圖4中的六邊形進(jìn)行分割，并寫出得到的小三角形的個(gè)數(shù)以及求出每個(gè)圖形中的六邊形的內(nèi)角和．試把這一結(jié)論推廣至n邊形，并推導(dǎo)出n邊形內(nèi)角和的計(jì)算公式．

Answer 1

解：（1）①（1，2）→（2，2）→（2，2）→（2，4）→（2，5）→（3，5）；
②（1，2）→（1，3）→（1，4）→（1，5）→（2，5）→（3，5）；

（2）正三角形與正四邊形；正三角形與正六邊形；正三邊形與正十二邊形；正四邊形與正八邊形；正五邊形與正十邊形；

（3）
a、∠P+∠A+∠C=360°；b、∠P=∠A+∠C；c、∠P=∠C-∠A；d、∠P=∠A-∠C．
說明理由（以第三個(gè)為例）：
已知AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同位角相等及三角形的一個(gè)外角等于兩不相鄰內(nèi)角之和，可得∠C=∠A+∠P．
提示：a、b均可過點(diǎn)P作AB的平行線PQ；c、d可通過外角來證．

（4）如圖所示：

結(jié)合兩個(gè)特殊圖形，可以發(fā)現(xiàn)：
第一種分割法把n邊形分割成了（n-2）個(gè)三角形，即內(nèi)角和為（n-2）×180°；
第二種分割法把n邊形分割成了（n-1）個(gè)三角形但多180°，即內(nèi)角和為：（n-1）×180°-180°=（n-2）×180°；
第三種分割法把n邊形分割成了n個(gè)三角形但多360°，即內(nèi)角和為：n×180°-360°=（n-2）×180°．
分析：（1）根據(jù)已知的路線可以知道由A到B的一條路徑只能向東，向北，所以根據(jù)這個(gè)方向即可確定其他的路徑；
（2）分別求出各個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再利用鑲嵌應(yīng)符合一個(gè)內(nèi)角度數(shù)能整除360即可作出判斷；
（3）a，b都需要用到輔助線利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的定理加以證明；c，d是利用兩直線平行，同位角相等的定理和三角形外角的性質(zhì)加以證明；
（4）圖3中，第一個(gè)圖形是作一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有對(duì)角線對(duì)其進(jìn)行分割；
第二個(gè)圖形是連接多邊形的其中一邊上的一個(gè)點(diǎn)和各個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行分割；
第三個(gè)圖形是連接多邊形內(nèi)部的任意一點(diǎn)和多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行分割．
根據(jù)上述方法分別進(jìn)行分割，可以發(fā)現(xiàn)所分割成的三角形的個(gè)數(shù)分別是4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)．
根據(jù)這樣的兩個(gè)特殊圖形，不難發(fā)現(xiàn)：
第一種分割法，分割成的三角形的個(gè)數(shù)比邊數(shù)少2，
第二種分割法分割成的三角形的個(gè)數(shù)比邊數(shù)少1，
第三種分割法分割成的三角形的個(gè)數(shù)等于多邊形的邊數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：（1）題考查了坐標(biāo)確定位置，是一個(gè)信息題目，根據(jù)題目隱含的信息找到題目中路徑的規(guī)律，然后利用這個(gè)規(guī)律確定其他的路徑．
（2）題考查了平面鑲嵌（密鋪），幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．
（3）題考查了平行線的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，這是中考�？嫉念}型；
（4）題考查了多邊形內(nèi)角與外角，此題要能夠從特殊中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而推廣到一般．