【題目】如圖,已知⊙O是以BC為直徑的△ABC的外接圓,OP∥AC,且與BC的垂線交于點P,OP交AB于點D,BC、PA的延長線交于點E.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)若sinE= ,PA=6,求AC的長.
【答案】
(1)證明:連接OA,如圖,
∵AC∥OP,
∴∠ACO=∠POB,∠CAO=∠POA,
又∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAO,
∴∠POA=∠POB,
在△PAO和△PBO中,
,
∴△PAO≌△PBO(SAS),
∴∠PAO=∠PBO,
又∵PB⊥BC,
∴∠PBO=90°,
∴∠PAO=90°,
∴OA⊥PE,
∴PA是⊙O的切線
(2)解:∵△PAO≌△PBO,
∴PB=PA=6,
在Rt△PBE中,∵sinE= =
∴ = ,解得PE=10,
∴AE=PE﹣PA=4,
在Rt△AOE中,sinE= = ,
設OA=3t,則OE=5t,
∴AE= =4t,
∴4t=4,解得t=1,
∴OA=3,
在Rt△PBO中,∵OB=3,PB=6,
∴OP= =3 ,
∵AC∥OP,
∴△EAC∽△EPO,
∴ = ,即 = ,
∴AC= .
【解析】(1)先利用平行線的性質得到∠ACO=∠POB,∠CAO=∠POA,加上∠ACO=∠CAO,則∠POA=∠POB,于是可根據(jù)“SAS”判斷△PAO≌△PBO,則∠PAO=∠PBO=90°,然后根據(jù)切線的判定定理即可得到PA是⊙O的切線;(2)先由△PAO≌△PBO得PB=PA=6,在Rt△PBE中,利用正弦的定義可計算PE=10,則AE=PE﹣PA=4,再在Rt△AOE中,由sinE= = ,可設OA=3t,則OE=5t,由勾股定理得到AE=4t,則4t=4,解得t=1,所以OA=3;接著在Rt△PBO中利用勾股定理計算出OP=3 ,然后證明△EAC∽△EPO,再利用相似比可計算出AC.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用切線的判定定理的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)如圖,AC平分∠DAB,∠DCA=∠DAC,試說明AB與CD的位置關系,并予以說明。
(2)如圖,在(1)的結論下,AB的下方兩點E,F滿足:BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,若∠DFB=20°,∠CDE=70°,求∠ABE的度數(shù)。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的外角∠ACD的平分線CP與∠ABC平分線BP交于點P,若∠BPC=40°,則∠CAP的度數(shù)是( )
A. 30°; B. 40°; C. 50°; D. 60°.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】光速約為300 000千米/秒,將數(shù)字300 000用科學記數(shù)法表示為( )
A.3×104B.3×105C.3×106D.30×104
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【題目】定義新運算:.
例如:32=3(3-2)=3,-14=-1(-1-4)=5.
(1)請直接寫出3a=b的所有正整數(shù)解;
(2)已知2a=5b-2m,3b=5a+m,說明:12a+11b的值與m無關;
(3)已知a>1,記M=abb,N=bab,試比較M,N的大小.
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【題目】在平面直角坐標系中,任意兩點A (x1,y1),B (x2,y2)規(guī)定運算:①AB=( x1+ x2, y1+ y2);②AB= x1 x2+y1 y2③當x1= x2且y1= y2時A=B有下列四個命題:
(1)若A(1,2),B(2,–1),則AB=(3,1),AB=0;
(2)若AB=BC,則A=C;(3)若AB=BC,則A=C;
(4)對任意點A、B、C,均有(AB ) C=A ( BC )成立.其中正確命題的個數(shù)為( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D.4個
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【題目】你會求(a﹣1)(a2014+a2013+a2012+…+a2+a+1)的值嗎?這個問題看上去很復雜,我們可以先考慮簡單的情況,通過計算,探索規(guī)律:
;
;
.
(1)由上面的規(guī)律我們可以大膽猜想,得到(a﹣1)(a2014+a2013+a2012+…+a2+a+1)=________
利用上面的結論,求:
(2)22014+22013+22012+…+22+2+1的值是 。
(3)求52014+52013+52012+…+52+5+1的值。
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【題目】根據(jù)提示填空(8分)
如圖,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=80°.將求∠AGD的過程填寫完整.
因為EF∥AD
所以∠2=____(____________________________)
又因為∠1=∠2
所以∠1=∠3(______________)
所以AB∥_____(_____________________________)
所以∠BAC+______=180°(_____________________)
因為∠BAC=80° 所以∠AGD=_______
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